Skończenie generowana grupa przemienna: Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne, drobne merytoryczne (he he he "wolna i abelowa" to całkiem nie to samo co "wolna abelowa")
(→‎Wnioski: poprawa linków)
(drobne redakcyjne, drobne merytoryczne (he he he "wolna i abelowa" to całkiem nie to samo co "wolna abelowa"))
'''Skończenie generowana grupa przemienna''' – w [[algebra abstrakcyjna|algebrze abstrakcyjnej]] [[grupa przemienna]] (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. JasneW jestszczególności, że każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana. Skończenie generowane grupy mają względnie prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.
 
Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.
 
==Definicja==
==Przykłady==
* [[Liczby całkowite]] <math>(\mathbb Z, +)</math> są skończenie generowaną grupą abelową,
* [[arytmetyka modularna|liczby całkowite modulo ''n'']] <math>\mathbb Z_n</math> są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
* dowolna [[iloczyny grup|suma prosta]] skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną
 
Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.
Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych. Grupa <math>(\mathbb Q, +)</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] nie jest skończenie generowana: niech <math>x_1, \ldots, x_s</math> będą liczbami wymiernymi, a <math>w</math> [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszą]] z mianownikami liczb <math>x_1, \ldots, x_s</math>, wtedy przedstawienie elementu <math>\tfrac{1}{w}</math> za pomocą <math>x_1, \ldots, x_s</math> okazuje się niemożliwe.
 
Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.* Grupa <math>(\mathbb Q, +)</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] nie jest skończenie generowana: niech <math>x_1, \ldots, x_s</math> będą liczbami wymiernymi, a <math>w</math> [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszą]] z mianownikami liczb <math>x_1, \ldots, x_s</math>, wtedy przedstawienie elementu <math>\tfrac{1}{w}</math> za pomocą <math>x_1, \ldots, x_s</math> okazuje się niemożliwe.
 
==Klasyfikacja==
 
===Rozkład na czynniki pierwsze===
Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa <math>G</math> jest izomorficzna z [[iloczyny grup#Suma prosta|sumą prostą]] [[grupa cykliczna|cyklicznych grup]] o rzędzierzędach będącymbędącymi potęgami [[liczby pierwsze|liczbąliczb pierwsząpierwszych]] oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda gupataka grupa jest izomorficzna z grupą postaci
:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t}</math>,
gdzie <math>n \geqslant 0</math>, a liczby <math>q_1, \ldots, q_t</math> są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności <math>G</math> jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 0</math>. Wartości <math>n, q_1, \ldots, q_t</math> są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez <math>G</math>.
 
===Rozkład na czynniki niezmiennicze===
Dowolna skończenie generowana grupa przemienna <math>G</math> może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u}</math>,
gdzie <math>k_1</math> [[dzielenie|dzieli]] <math>k_2</math>, które dzieli <math>k_3</math> i tak dalej, aż do <math>k_u</math>. Znowu, liczby <math>n, k_1, \ldots, k_u</math> są jednoznacznie wyznaczone przez <math>G</math> (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane [[czynnik niezmienniczy|czynnikami niezmienniczymi]].
 
==Wnioski==
Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą [[grupa abelowa wolna|grupy abelowej wolnej]] skończonej [[grupa abelowa wolna|rangi]] i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest po prostu [[podgrupa torsyjna|podgrupą torsyjną]] <math>G</math>. Ranga <math>G</math> jest określona jako ranga beztorsyjnej części <math>G</math>; tzn. jest to zwyczajnie liczba <math>n</math> w powyższych wzorach.
 
[[Wniosek|Wnioskiem]] płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolnawolną igrupą przemiennaabelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: <math>\mathbb Q</math> jest beztorsyjna, ale nie jest wolna igrupą abelowaabelową.
 
Każda [[podgrupa]] i [[grupa ilorazowa]] skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z [[homomorfizmy grup|homomorfizmami grupowymi]] stanowią [[kategoria przemienna|kategorię przemienną]], będącą [[podkategoria|podkategorią Serre'a]] [[kategoria grup przemiennych|kategorii grup abelowych]].
3518

edycji