Wikipedysta:Kristianonearth/brudnopis

Definicja

Niech s  > 0. Niech $\;(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $E\subseteq X$ określamy miarę zewnętrzną

$H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (A_{i})^{s}\right\}$,

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów $\,\{A_{i}\}_{i}$, które pokrywają $E\,$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej $\,\delta$.

Gdy $\delta \,$ maleje, to $H_{\delta }^{s}(E)$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

$H^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}~H_{\delta }^{s}(E)$.

Łatwo sprawdzić, że:

• $H^{s}(E)=0\implies H^{t}(E)=0$     dla każdego $\,t>s$;
• $H^{s}(E)=\infty \implies H^{t}(E)=\infty$     dla każdego $\,t<s$.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

$\operatorname {dim} _{H}(E)=\inf\{s\colon H^{s}(E)=0\}=\sup\{s\colon H^{s}(E)=\infty \}$.

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)   udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię, i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych, zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  , w terminach nie miary Hausdorffa, lecz logarytmu minimalnych liczności ε-pokryć, podzielonego przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana ; patrz też rosyjskie tłumaczenie , gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda liczenia

W większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej np. takich jak Kostka Mengera policzenie wymiaru Haussdorfa sprowadza sie do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego z zsumowanych miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji $H_{\delta }^{s}(E)$. Wymiar Haussdorfa jest równy nawiększej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się $8^{n}$ kwadratów o boku $1/3^{n}$. Suma szeregu jest wtedy dana przez

${\frac {}{}}Z(\gamma )=\left({\frac {1}{3}}\right)^{\gamma }+8\left({\frac {1}{3^{2}}}\right)^{\gamma }+8^{2}\left({\frac {1}{3^{3}}}\right)^{\gamma }+8^{3}\left({\frac {1}{3^{4}}}\right)^{\gamma }+...$

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

$q={\frac {8}{3^{\gamma }}}$

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy $q=1$ tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

$\gamma ={\frac {\log(8)}{\log(3)}}\approx 1,8928$

co pokazuje że jest to zbiór trochę mniej niż 2-wymiarowy.

Dla kostki Mengera będzie to więc $\log(20)/\log(3)$, dla piramidy Sierpińskiego $\log(4)/\log(2)$, a dla zbioru Cantora $\log(2)/\log(3)$.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• wymiar.