Analiza funkcjonalna: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 259 bajtów ,  13 lat temu
→‎Przestrzenie unormowane: stosunek do funkcji
m (drobne merytoryczne)
(→‎Przestrzenie unormowane: stosunek do funkcji)
Obecnie na analizę funkcjonalną patrzy się zazwyczaj jako na badanie [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] [[przestrzeń unormowana|unormowanych]] [[przestrzeń zupełna|zupełnych]] nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Takie przestrzenie noszą nazwę [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]]. Ważnym przykładem jest [[przestrzeń Hilberta]], w której norma pochodzi od [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]]. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]]. W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem [[przestrzeń Frécheta|przestrzeni Frécheta]] i innych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], w których nie ma normy.
 
Typowe przestrzeni liniowe badane w analizie funkcjonalnej są głównie nieskończeniewymiarowymi, ponieważ skończeniewymiarowe przestrzeni są badane w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]]. Dlatego można powedzieć że analiza funkcjonalna jest uogólnieniem algebry liniowej. Często wektory tych przestrzeni liniowych nieskończeniewymiarowych są [[funkcja]]mi; analiza funkcjonalna rozwija się głównie wychodząc z problemów dotyczących funkcji, ale jest bardzo abstrakcyjnej i dlatego bada nie tylko przestrzeni funkcjonalne.
 
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są [[funkcja ciągła|ciągłe]] przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Własności przestrzeni takich funkcjonałów uogólniają się do pojęć [[C*-algebra|C*-algebr]] i innych algebr operatorów.