Analiza funkcjonalna: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 603 bajty ,  13 lat temu
drobne redakcyjne (głównie eliminacja fragmentów niewiele wyjaśniających)
(→‎Przestrzenie unormowane: zmieniono tytuł fragmentu)
(drobne redakcyjne (głównie eliminacja fragmentów niewiele wyjaśniających))
'''Analiza funkcjonalna''' – dział [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] zajmujący się głównie badaniem własności [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]]. Rozwinął się w trakcie studiów nad [[Funkcja|odwzorowaniami]] zwanymi [[transformata]]mitransformacjami lub [[operator]]amioperatorami (przede wszystkim nad [[transformatatransformacja Fouriera|transformatątransformacją Fouriera]]) oraz równaniami [[różniczka|różniczkowymi]] i [[całka|całkowymi]].
 
Słowo ''funkcjonał'' pochodzi z [[rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]], gdzie oznacza funkcję, której argument jest [[funkcja|funkcją]] (ale wartość jest [[liczba|liczbą]]); w analizie funkcjonalnej argumentem funkcjonała może być jakikolwiek [[wektor]] i funkcja jako przypadek częściowy. Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne [[operator]]yoperatory, których -zarówno argumenty jak i wartości których są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest [[teoria operatorów]] gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory).
 
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się [[matematyk]]owi i [[fizyk]]owi [[Vito Volterra|Vito VolterrzeVolterze]], a stworzenie jej podstaw przypisuje się [[Stefan Banach|Stefanowi Banachowi]], aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy [[XIX wiek]]u [[Węgry|węgierski]] matematyk
[[József Szoboszló]], jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. [[XX wiek]]u.{{fakt}}
 
==Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej==
ObecnieW naogólności analizęanaliza funkcjonalnąfunkcjonalna patrzyzajmuje się zazwyczajrównież jakobadaniem na[[Przestrzeń badanieFrécheta (analiza funkcjonalna)|przestrzeni Frécheta]] i innych [[przestrzeń liniowaliniowo-topologiczna|przestrzeni liniowychliniowo-topologicznych]]. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak [[przestrzeń unormowana|unormowanychunormowane]] [[przestrzeń zupełna|zupełnychzupełne]] przestrzenie [[przestrzeń liniowa|liniowe]] nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Takie przestrzenie noszą nazwę [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]]. Ważnym przykładem jest [[przestrzeń Hilberta]], w której norma pochodzi od [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]]. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]]. W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem [[przestrzeń Frécheta|przestrzeni Frécheta]] i innych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], w których nie ma normy.
 
Przykładami przestrzeni Banacha są [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]], w których norma pochodzi od [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]]. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]].
Typowe przestrzeni liniowe badane w analizie funkcjonalnej są głównie nieskończeniewymiarowymi, ponieważ skończeniewymiarowe przestrzeni są badane w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]]. Dlatego można powedzieć że analiza funkcjonalna jest uogólnieniem algebry liniowej. Często wektory tych przestrzeni liniowych nieskończeniewymiarowych są [[funkcja]]mi; analiza funkcjonalna rozwija się głównie wychodząc z problemów dotyczących funkcji, ale jest bardzo abstrakcyjnej i dlatego bada nie tylko przestrzeni funkcjonalne.
 
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są [[funkcja ciągła|ciągłe]] przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. WłasnościBadania własności przestrzeni takich funkcjonałów uogólniają siędoprowadziły do sformułowania pojęć [[C*-algebra|C*-algebr]] i innych algebr operatorów.
 
==Najważniejsze wyniki==
3518

edycji