Komutator (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

{{spis treści}}

'''Komutator''' – w [[matematyka|matematyce]] wskaźnik stopnia [[przemienność|nieprzemienności]] pewnego [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowego]]. Definicje w [[teoria grup|teorii grup]] oraz [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]] różnią się między sobą.

 

'''Komutator''' dwóch elementów <math>g</math> i <math>h</math> należących do [[grupa (matematyka)|grupy]] <math>G</math> to element

 

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy <math>g</math> i <math>h</math> komutują (czyli są przemienne, tzn. <math>gh = hg</math>). [[Podgrupa]] grupy <math>G</math> generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest '''[[komutant]]em''' grupy <math>G</math>. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup [[grupa nilpotentna|nilpotentnych]] i [[grupa rozwiązalna|rozwiązalnych]].

 

; Uwaga : Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

 

W tej sekcji wyrażenie <math>g^x</math> oznacza sprzężony (przez <math>x</math>) element <math>x^{-1}gx</math>.

 

; Uwaga : Powyższa definicja sprzężenia <math>g</math> przez <math>x</math> używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie <math>g</math> przez <math>x</math> jako <math>xax^{-1}</math>, zwykle zapisuje się to jako <math>{}^x g</math>.

 

'''Komutator''' dwóch elementów <math>a</math> i <math>b</math> [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] lub [[algebra łączna|algebry łącznej]] zdefiniowany jest jako

 

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> i <math>b</math> są przemienne (komutują). W [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako [[algebra Liego|nawiasu Liego]] umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w [[algebra Liego|algebrę Liego]]. Komutator dwóch operatorów na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] jest ważnym pojęciem [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]], ponieważ wskazuje jak dobrze dwie [[obserwabla|obserwable]] opisywane za pomocą tych operatorów mogą być równocześnie mierzone. [[Zasada nieoznaczoności]] jest ostatecznym [[twierdzenie]]m o tych komutatorach.

 

Komutator ma następujące własności:

 

* <math> e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots</math>.

 

Niech dane będą dwa operatory: [[operator różniczkowy|różniczkowy]] <math>\operatorname{d}</math>, który przekształca [[funkcja (matematyka)|funkcję]] w jej [[pochodna funkcji|pochodną]] oraz <math>\operatorname{x}</math>, który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

 

Stąd wynik zastosowania obu operatorów <math>\operatorname{d}</math> i <math>\operatorname{x}</math> na funkcję <math>F</math> zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

 

Podczas badania [[algebra z gradacja|algebr z gradacją]] komutator zastępuje się zwykle '''komutatorem z gradacją''' definiowanym w języku składowych jednorodnych jako <math>[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta}\eta \omega</math>.

 

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z [[reprezentacja przez sprzężenia|reprezentacji sprzężeniowej]]

 

Wówczas <math>\operatorname{ad}(x) </math> jest [[algebra różniczkowa|różniczkowaniem]], a <math>\operatorname{ad}</math> jest liniowe, ''np.'' <math>\operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y)</math> oraz <math>\operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x)</math> i homomorfizmem [[algebra Liego|algebry Liego]], ''np.'' <math>\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]</math>, ale '''nie''' zawsze jest homomorfizmem algebr, ''np.'' tożsamość <math>\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) </math> '''w ogólności nie zachodzi'''.

* <math>\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right]</math>.

 

'''Antykomutator''' <math>\{a, b\}</math> lub <math>[a, b]_+</math> definiowany jest jako <math>[a, b]_+ = ab + ba</math>. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus <math>[a, b]_-</math>.

 

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana (są to liczby, rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują między sobą oraz komutują ze zwykłymi liczbami).

 

 

 

[[Kategoria:Algebra]]