Komutator (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 120 bajtów ,  13 lat temu
m
+disambig, WP:SK
m (+disambig, WP:SK)
{{disambigR|matematyki|[[Komutator (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego terminu]]}}
{{spis treści}}
'''Komutator''' – w [[matematyka|matematyce]] wskaźnik stopnia [[przemienność|nieprzemienności]] pewnego [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowego]]. Definicje w [[teoria grup|teorii grup]] oraz [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]] różnią się między sobą.
 
== Teoria grup ==
'''Komutator''' dwóch elementów <math>g</math> i <math>h</math> należących do [[grupa (matematyka)|grupy]] <math>G</math> to element
: <math>[g, h] = g^{-1}h^{-1}gh</math>.
 
Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy <math>g</math> i <math>h</math> komutują (czyli są przemienne, tzn. <math>gh = hg</math>). [[Podgrupa]] grupy <math>G</math> generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest '''[[komutant]]em''' grupy <math>G</math>. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup [[grupa nilpotentna|nilpotentnych]] i [[grupa rozwiązalna|rozwiązalnych]].
 
; Uwaga : Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako
:: <math>[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}</math>.
 
=== Tożsamości ===
W tej sekcji wyrażenie <math>g^x</math> oznacza sprzężony (przez <math>x</math>) element <math>x^{-1}gx</math>.
 
; Uwaga : Powyższa definicja sprzężenia <math>g</math> przez <math>x</math> używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie <math>g</math> przez <math>x</math> jako <math>xax^{-1}</math>, zwykle zapisuje się to jako <math>{}^x g</math>.
 
== Teoria pierścieni ==
'''Komutator''' dwóch elementów <math>a</math> i <math>b</math> [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] lub [[algebra łączna|algebry łącznej]] zdefiniowany jest jako
: <math>[a, b] = ab - ba</math>.
 
Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> i <math>b</math> są przemienne (komutują). W [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.
Zastosowanie komutatora jako [[algebra Liego|nawiasu Liego]] umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w [[algebra Liego|algebrę Liego]]. Komutator dwóch operatorów na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] jest ważnym pojęciem [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]], ponieważ wskazuje jak dobrze dwie [[obserwabla|obserwable]] opisywane za pomocą tych operatorów mogą być równocześnie mierzone. [[Zasada nieoznaczoności]] jest ostatecznym [[twierdzenie]]m o tych komutatorach.
 
=== Tożsamości ===
Komutator ma następujące własności:
 
* <math> e^{A}B e^{-A} = B + [A, B] + \tfrac{1}{2!}[A, [A, B]] + \tfrac{1}{3!} [A, [A, [A, B]]] + \dots</math>.
 
=== Przykład ===
Niech dane będą dwa operatory: [[operator różniczkowy|różniczkowy]] <math>\operatorname{d}</math>, który przekształca [[funkcja (matematyka)|funkcję]] w jej [[pochodna funkcji|pochodną]] oraz <math>\operatorname{x}</math>, który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.
 
Stąd wynik zastosowania obu operatorów <math>\operatorname{d}</math> i <math>\operatorname{x}</math> na funkcję <math>F</math> zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.
 
== Pierścienie i algebry z gradacją ==
Podczas badania [[algebra z gradacja|algebr z gradacją]] komutator zastępuje się zwykle '''komutatorem z gradacją''' definiowanym w języku składowych jednorodnych jako <math>[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta}\eta \omega</math>.
 
== Różniczkowania ==
Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z [[reprezentacja przez sprzężenia|reprezentacji sprzężeniowej]]
: <math>\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]</math>.
 
Wówczas <math>\operatorname{ad}(x) </math> jest [[algebra różniczkowa|różniczkowaniem]], a <math>\operatorname{ad}</math> jest liniowe, ''np.'' <math>\operatorname{ad}(x + y) = \operatorname{ad}(x) + \operatorname{ad}(y)</math> oraz <math>\operatorname{ad}(\lambda x) = \lambda \operatorname{ad}(x)</math> i homomorfizmem [[algebra Liego|algebry Liego]], ''np.'' <math>\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]</math>, ale '''nie''' zawsze jest homomorfizmem algebr, ''np.'' tożsamość <math>\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) </math> '''w ogólności nie zachodzi'''.
* <math>\operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(a+b)(y) = \left[x, [a + b, y]\right]</math>.
 
== Antykomutator ==
'''Antykomutator''' <math>\{a, b\}</math> lub <math>[a, b]_+</math> definiowany jest jako <math>[a, b]_+ = ab + ba</math>. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus <math>[a, b]_-</math>.
 
W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana (są to liczby, rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują między sobą oraz komutują ze zwykłymi liczbami).
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[antyprzemienność]],
* [[algebra różniczkowa]],
* [[pochodna Pincherlego]],
* [[nawias Poissona]],
* [[kanoniczna relacja komutacji]],
* [[mechanika kwantowa]].
 
== Źródła ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Griffiths | imię = David J. | tytuł = Introduction to Quantum Mechanics | wydanie = drugie | wydawca = Prentice Hall | rok = 2004 | id = ISBN 0-13-805326-X}}
* {{cytuj książkę | autor = [[Richard Liboff|Liboff, Richard L.]] | tytuł = Introductory Quantum Mechanics | wydawca = Addison-Wesley | rok = 2002 | id = ISBN 0-8053-8714-5}}
 
[[Kategoria:Algebra]]
5953

edycje