Całki eliptyczne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Maksim-bot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: uk:Еліптичні інтеграли |
Poprawki i uzupełnienia techniczne |
||
Linia 1:
'''Całkami eliptycznymi''' nazywamy ważną klasę [[Całka|całek]] postaci
<center><math>
\int R(x,\sqrt{W(x)})dx, \qquad (1)
</math></center>
gdzie <math>\; R(x,y) \;</math> jest [[Funkcja_wymierna|funkcją wymierną]] zmiennych x i y, a <math>\; W(x) \;</math> jest [[Wielomian|wielomianem]] o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że
<center><math>▼
<center><math>\;
P(x,y)=0,
\;</math></center>
gdzie <math>\; P(x,y) \;</math> jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami [[Niels Henrik Abel|Abela]]. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.
Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania [[Obwód|obwodu]] [[Elipsa (matematyka)|elipsy]], stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnych]]. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.
Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są [[funkcje eliptyczne]]. Na przykład funkcja eliptyczna [[Karl Weierstraß|Weierstrassa]] <math>\wp</math> jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę
<center><math>▼
<center><math>\;
z(w)=\int\limits_{w}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}},
\;</math></center>
tzn. <math>\; \wp(z) = w \;</math>, o ile
Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą [[Całkowanie przez podstawienie|podstawień]] doprowadzić do jednej z następujących trzech całek
<center><math>
\int\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),
</math></center>
<center><math>
\int\frac{(1-k^2 t^2) dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),
</math></center>
<center><math>
\int\frac{dt}{(1+ht^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),
Linia 29 ⟶ 37:
gdzie ''h'' jest parametrem [[Liczby zespolone|zespolonym]]. Całek tych, jak pokazał [[Joseph Liouville|Liouville]], nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.
[[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] zastosował podstawienie t=sinφ, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek
<center><math>
\int\frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),
</math></center>
<center><math>
\int\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),
</math></center>
<center><math>
\int\frac{d\phi}{(1+
</math></center>
które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ψ oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,ψ) i E(k,ψ)
Całki eliptyczne ''F'' i ''E'' nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami▼
<center><math>
F(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),
</math></center>
<center><math>
E(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),
</math></center>
Parametr ''k'' występujący w funkcjach ''F'' i ''E'' nazywamy ''modułem''.
▲Całki eliptyczne ''F'' i ''E'' nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami
▲<center><math>
K(k) = F \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1) \, ,
</math></center>
▲<center><math>
E(k) = E \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1) \, .
</math></center>
Wartości całek eliptycznych zupełnych ''K'' i ''E'' są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznaych.
Praktyczną korzyścią z całek eliptycznych jest możliwość policzenia przybliżonego obwodu [[Elipsa (matematyka)|elipsy]]. Na przykład dla ''a=2'' i ''b=1'' mamy [[Ekscentryczność (fizyka)|mimośród]] ''e=0,866''. Obwód wtedy jest równy ''4aE(e)'' czyli w przybliżeniu dla powyższych wartości ''9.68''.
Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są [[funkcje amplitudy]].
[[kategoria:Całki]]
| |||