Całki eliptyczne: Różnice pomiędzy wersjami

'''Całkami eliptycznymi''' nazywamy ważną klasę [[Całka|całek]] postaci

 

 

gdzie <math>\; R(x,y) \;</math> jest [[Funkcja_wymierna|funkcją wymierną]] zmiennych x i y, a <math>\; W(x) \;</math> jest [[Wielomian|wielomianem]] o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4. Całki tego rodzaju, w których za zmienną y podstawimy dowolną funkcję algebraiczną zmiennej x, taką że

 

P(x,y)=0,

 

gdzie <math>\; P(x,y) \;</math> jest wielomianem względem zmiennych x i y nazywa się czasem całkami [[Niels Henrik Abel|Abela]]. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są [[funkcje eliptyczne]]. Na przykład funkcja eliptyczna [[Karl Weierstraß|Weierstrassa]] <math>\wp</math> jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

 

z(w)=\int\limits_{w}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}},

 

tzn. <math>\; \wp(z) = w \;</math>, o ile <math>\; z=z(w) \;</math>.

 

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą [[Całkowanie przez podstawienie|podstawień]] doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

\int\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

 

\int\frac{(1-k^2 t^2) dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

 

\int\frac{dt}{(1+ht^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}\ \ (0<k<1),

gdzie ''h'' jest parametrem [[Liczby zespolone|zespolonym]]. Całek tych, jak pokazał [[Joseph Liouville|Liouville]], nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

 

[[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] zastosował podstawienie t=sin&phi;, dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek

 

\int\frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),

 

\int\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),

 

\int\frac{d\phi}{(1+h \sin^2 \phi) \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi )}}\ \ (0<k<1),

 

które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre'a. Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich, które traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do &psi; oznaczamy za Legendre'm odpowiednio F(k,&psi;) i E(k,&psi;).

 

F(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1),

 

E(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1),

 

Parametr ''k'' występujący w funkcjach ''F'' i ''E'' nazywamy ''modułem''.

Całki eliptyczne ''F'' i ''E'' nazywamy też całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych danych wzorami

 

K(k) = F \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)}}\ \ (0<k<1) \, ,

 

E(k) = E \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{(1-k^2 \sin^2 \phi)} \; d\phi\ \ (0<k<1) \, .

 

Wartości całek eliptycznych zupełnych ''K'' i ''E'' są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznaych.

 

[[kategoria:Całki]]

 

[[de:Elliptisches Integral]]