Arytmetyka liczb porządkowych: Różnice pomiędzy wersjami

Rewert: a jednak "polecamy" bo ta książeczka nie była używana w czasie pisania (większości) tego artykułu, więc nie można twierdzić iż jest to "źródło"
(-polecam)
(Rewert: a jednak "polecamy" bo ta książeczka nie była używana w czasie pisania (większości) tego artykułu, więc nie można twierdzić iż jest to "źródło")
Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od [[arytmetyka|arytmetyki]] [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], choć można dostrzec między nimi pewne analogie.
 
*Czytelnikowi zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej dziedziny polecamy monografię polskiego matematyka [[Wacław Sierpiński|Wacława Sierpińskiego]]<ref> Sierpiński, Wacław: ''Cardinal and ordinal numbers''. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, Vol. 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw 1965.</ref>.
== Definicje ==
 
== Definicje ==
Na liczbach porządkowych rozważa się następujące [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]]: '''dodawanie''', '''mnożenie''' i '''potęgowanie''' liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik), poniżej przedstawimy oba podejścia.
 
=== Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne ===
Operacje "+" i "&middot;" na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów [[dobry porządek|dobrze uporządkowanych]].
 
Przypuśćmy, że <math>{\bold A}=(A,\leq_A)</math> oraz <math>{\bold B}=(B,\leq_B)</math> są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory ''A'' i ''B'' są [[zbiory rozłączne|rozłączne]]. Określamy:
* <math>{\bold A}+{\bold B}= (A\cup B,\sqsubseteq^+)</math>, gdzie <math>\sqsubseteq^+</math> jest [[Relacja (matematyka)|relacją]] binarną na <math>A\cup B</math> zdefiniowaną przez
:: <math>x\sqsubseteq^+ y</math> wtedy i tylko wtedy gdy (<math>x,y\in A\cup B</math> oraz)
::: <math>x,y\in A</math> i <math>x\leq_A y</math>, lub
::: <math>x,y\in B</math> i <math>x\leq_B y</math>, lub
::: <math>x\in A</math> i <math>y\in B</math>.
* <math>{\bold A}\cdot{\bold B}= (A\times B,\sqsubseteq^\circ)</math>, gdzie <math>\sqsubseteq^\circ</math> jest relacją binarną na [[iloczyn kartezjański|produkcie]] <math>A\times B</math> zdefiniowaną przez
:: <math>(a_1,b_1)\sqsubseteq^\circ (a_2,b_2)</math> wtedy i tylko wtedy gdy (<math>a_1,a_2\in A</math>, <math>b_1,b_1\in B</math> oraz)
::: <math>b_1<_B b_2</math>, lub
::: <math>b_1=b_2</math> i <math>a_1\leq_A a_2</math>.
 
Łatwo można sprawdzić, że zarówno <math>{\bold A}+{\bold B}</math> jak i <math>{\bold A}\cdot{\bold B}</math> są dobrymi porządkami.
 
[[Grafika:Omega squared.png|thumb|right|256px|Liczba porządkowa <math>\omega\cdot\omega</math>: każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej &omega;&middot;&omega; - kreski te odpowiadają liczbom postaci &omega;&middot;''m''+''n'' gdzie ''m'' i ''n'' są liczbami naturalnymi.]]
Dla liczb porządkowych <math>\alpha,\beta</math> określamy
* '''sumę''' <math>\alpha+\beta</math> jako (jedyną) liczbę porządkową [[izomorfizm|izomorficzną]] ze zbiorem dobrze uporządkowanym <math>{\bold A}+{\bold B}</math>, gdzie <math>{\bold A},{\bold B}</math> są rozłącznymi kopiami <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>, odpowiednio;
* '''iloczyn''' <math>\alpha\cdot\beta</math> jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym <math>{\bold A}\cdot{\bold B}</math>, gdzie <math>{\bold A},{\bold B}</math> są kopiami <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>, odpowiednio.
 
=== Definicje indukcyjne ===
* '''Dodawanie''': przez [[indukcja pozaskończona|indukcję]] po liczbach porządkowych <math>\beta</math>, dla każdej liczby porządkowej <math>\alpha</math>, definiujemy <math>\alpha+\beta</math> w sposób następujący:
:: <math>\alpha+0=\alpha</math>,
:: <math>\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}</math> jest następnikiem porządkowym liczby <math>\alpha</math>,
:: <math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>,
:: jeśli <math>\beta</math> jest liczbą [[graniczna liczba porządkowa|graniczną]], to <math>\alpha+\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}(\alpha+\gamma)</math>.
* '''Mnożenie''': przez indukcję po liczbach porządkowych <math>\beta</math>, dla każdej liczby porządkowej <math>\alpha</math>, definiujemy <math>\alpha\cdot\beta</math> w sposób następujący:
:: <math>\alpha\cdot 0=0</math>,
:: <math>\alpha\cdot (\beta+1)=\alpha\cdot\beta +\alpha</math>,
:: jeśli <math>\beta</math> jest liczbą graniczną, to <math>\alpha\cdot\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}(\alpha\cdot\gamma)</math>.
* '''Potęgowanie''': przez indukcję po liczbach porządkowych <math>\beta</math>, dla każdej liczby porządkowej <math>\alpha</math>, definiujemy <math>\alpha^\beta</math> w sposób następujący:
:: <math>\alpha^0=1</math>,
:: <math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta \cdot\alpha</math>,
:: jeśli <math>\beta</math> jest liczbą graniczną, to <math>\alpha^\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}\alpha^\gamma</math>.
 
== Podstawowe własności ==
Pewne własności "zwykłych" działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych <math>\alpha, \beta, \gamma</math> prawdziwe są następujące równości:
* <math>(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)</math> oraz <math>(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)</math>,
* <math>\alpha^1 = \alpha</math> oraz <math>1^\alpha = 1</math>.
 
== Przykłady ==
Przypomnijmy, że <math>\omega=\{0,1,2,3,\ldots\}</math> jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.
* <math>888+\omega=\omega<\omega+888</math> oraz <math>888\cdot\omega=\omega<\omega\cdot 888</math>
: (czyli ani dodawanie ani mnożenie liczb porządkowych nie są [[przemienność|przemienne]]),
* <math>(\omega+888)\cdot 2=(\omega+888)+(\omega+888)=\omega+\omega+888</math> ale <math>\omega\cdot 2+888\cdot 2=\omega+\omega+1776\neq \omega+\omega+888</math>
: (czyli prawostronna [[rozdzielność]] mnożenia względem dodawania nie jest spełniona dla działań na liczbach porządkowych),
* <math>(\omega+\omega)\cdot \omega=\omega\cdot\omega</math>,
* <math>(\omega\cdot 2)^2=(\omega+\omega)\cdot (\omega+\omega)=\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega<\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega=\omega\cdot\omega \cdot 4=\omega^2\cdot 2^2</math>,
* <math>2^\omega=\lim\limits_{n<\omega}2^n=\omega</math>,
 
== Więcej własności ==
* Niech &alpha;,&beta; będą liczbami porządkowymi, <math>\alpha>0</math>. Wówczas liczba &beta; ma ''jednoznaczne'' przedstawienie postaci
:: <math>\beta=\alpha\cdot\gamma+\delta</math> gdzie &gamma;,&delta; są liczbami porządkowymi i <math>0\leq\delta<\alpha</math>.
* '''Twierdzenie [[Georg Cantor|Cantora]] o postaci normalnej''': Każda niezerowa liczba porządkowa <math>\alpha>0</math> może być przedstawiona ''jednoznacznie'' w postaci
:: <math>\alpha=\omega^{\beta_1}\cdot m_1+ \omega^{\beta_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\beta_n}\cdot m_n</math>
: dla pewnych liczb naturalnych <math>n\geq 1</math> oraz <math>m_1,\ldots,m_n>0</math> oraz liczb porządkowych <math>\beta_1,\ldots,\beta_n</math> spełniających warunek <math>\beta_n<\beta_{n-1}<\ldots<\beta_1\leq\alpha</math>.
* Liczby porządkowe &alpha; dla których zachodzi równość <math>\omega^\alpha=\alpha</math> były nazwane przez Cantora '''epsilon-liczbami'''. Pierwszą epsilon-liczbą jest <math>\varepsilon_0=\lim\limits_{n<\omega}\alpha_n</math>, gdzie <math>\alpha_1=\omega,\alpha_2=\omega^\omega</math> i <math>\alpha_{n+1}=\omega^{\alpha_n}</math>. Epsilon-liczby tworzą [[klasa|klasę]] właściwą.
* Jeśli &alpha; jest epsilon-liczbą, to
:: (a) <math>\beta+\alpha=\alpha</math> dla każdej liczby <math>\beta<\alpha</math>,
:: (b) <math>\beta\cdot\alpha=\alpha</math> dla każdej liczby <math>1\leq\beta<\alpha</math>,
:: (c) <math>\beta^\alpha=\alpha</math> dla każdej liczby <math>2\leq\beta<\alpha</math>.
 
== Zastosowania ==
* Dowód [[Twierdzenie Goodsteina|twierdzenia Goodsteina]] używa Cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż &epsilon;<sub>0</sub>.
 
== Operacje naturalne ==
W [[1906]], niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg<ref>Hessenberg, G.: ''Grundbegriffe der Mengenlehre''. Göttingen: Vandenhoeck &amp; Ruprecht. 1906.</ref> wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: '''naturalną sumę''' i '''naturalny produkt'''. Czasami operacje te są nazywane '''sumą Hessenberga''' i '''produktem Hessenberga''', odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy traktując te rozwinięcia jakby były formalnymi [[wielomian]]ami zmiennej &omega;.
 
Niech &alpha; i &beta; będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne <math>n\geq 1</math> oraz <math>m_1,\ldots,m_n,k_1,\ldots,k_n</math> oraz liczby porządkowe <math>\xi_n<\xi_{n-1}<\ldots<\xi_1</math> takie, że
:: <math>\alpha=\omega^{\xi_1}\cdot m_1+ \omega^{\xi_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot m_n</math> oraz <math>\beta=\omega^{\xi_1}\cdot k_1+ \omega^{\xi_2}\cdot k_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot k_n</math>.
 
Określamy teraz '''sumę naturalną''' <math>\alpha(+)\beta</math> przez
: <math>\alpha(+)\beta=\omega^{\xi_1}\cdot (k_1+m_1)+ \omega^{\xi_2}\cdot (k_2+m_2)+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot (k_n+m_n)</math>.
Definicja '''produktu naturalnego''' <math>\alpha(\cdot)\beta</math> jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia <math>\omega^{\xi_1}\cdot m_1+ \omega^{\xi_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot m_n</math> i <math>\omega^{\xi_1}\cdot k_1+ \omega^{\xi_2}\cdot k_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot k_n</math> jakby przedstawiały wielomiany zmiennej &omega;. Dla każdej pary liczb naturalnych <math>1\leq i,j\leq n</math> rozważamy liczbę <math>\omega^{\xi_i(+)\xi_j}\cdot m_i\cdot k_j</math> (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację ''sumy naturalnej''). Produkt naturalny <math>\alpha(\cdot)\beta</math> jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci <math>\omega^{\xi_i(+)\xi_j}\cdot m_i\cdot k_j</math> uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.
 
Obie operacje, <math>(+)</math> i <math>(\cdot)</math>, są przemienne i [[łączność (matematyka)|łączne]]. Zauważmy, że
: <math>(\omega+1)+(\omega+1)=\omega\cdot 2+1</math> ale <math>(\omega+1)(+)(\omega+1)=\omega\cdot 2+2</math>, oraz
: <math>(\omega+1)\cdot (\omega+1)=\omega^2+\omega+1</math> ale <math>(\omega+1)(\cdot)(\omega+1)=\omega^2+\omega\cdot 2+1</math>.
 
== Bibliografia ==
<references/>
 
==Zobacz Źródła też==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* Sierpiński, Wacław: ''Cardinal and ordinal numbers''. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, Vol. 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw 1965.
* [[teoria mnogości]]
 
* [[liczby porządkowe]],
== Zobacz też ==
* [[moc zbioru|liczby kardynalne]],
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
* [[arytmetyka liczb kardynalnych]],
* [[teoria mnogości]]
* [[liczby porządkowe]]
* [[moc zbioru|liczby kardynalne]]
* [[arytmetyka liczb kardynalnych]]
 
[[Kategoria:Liczby porządkowe]]
3518

edycji