Liczby względnie pierwsze: Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
(drobne merytoryczne)
(drobne redakcyjne)
'''Liczby względnie pierwsze''' – [[liczby całkowite]], które nie mają innych poza jedynką wspólnych [[dzielnik]]ów w rozkładzie na [[czynniki pierwsze]] lub, równoważnie, ich [[największy wspólny dzielnik|największym wspólnym dzielnikiem]] jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się '''parami względnie pierwszymi'''.
[[Liczby naturalne]] dodatnie ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' nazywamy '''względnie pierwszymi''', jeśli ich [[największy wspólny dzielnik|NWD]] jest liczba 1. Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie liczb ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>''.
 
Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest [[algorytm Euklidesa]]. [[funkcja φ|Funkcja Eulera]] (''tocjent'' lub ''phi Eulera'') dodatniej liczby całkowitej ''n'' jest liczbą liczb naturalnych między 1 a ''n'', które są względnie pierwsze z ''n''.
Rozkłady na [[czynniki pierwsze]] liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem dzielników pierwszych wspólnych dla wszystkich liczb ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>''.
 
===Przykłady===
Liczby ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' są '''parami względnie pierwsze''', jeśli
* Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
:<math>NWD(a_i,a_j)=1\;</math> dla <math>i\ne j</math>
* Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
* TrójkaLiczby 10, 12 i 15 to liczby względnie pierwsze, choćale parynie (10,12), (10,15) i (12,15)parami względnie pierwsze nie(najmniejsza są.wspólna <br>Uwaga: najmniejszą wspólną wielokrotnościąwielokrotność tych liczb jestwynosi 60, a nie 10*·12*·15 = 1800).
 
==Własności==
JeśliJeżeli ''a''dwie i ''b''liczby są względnie pierwsze, to ich [[najmniejsza wspólna wielokrotność|NWW]] równa jest ich [[iloczyn]]owi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników.
ich [[iloczyn]] ''ab''. Dotyczy to tylko względnie pierwszych par, czyli przypadku n=2
 
Warunkiem równoważnym względnej pierwszości dwóch liczb jest:
Jeśli liczby ''a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>'' są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite
: jeśli liczby ''a'' i ''b'' są względnie pierwsze, to istnieją liczby całkowite ''x'' i ''y'', że
''k<sub>1</sub>,...,k<sub>n</sub>''
:: ''ax'' + ''bx'' = 1.
takie, że ''k''<sub>1</sub>*''a''<sub>1</sub> + ... + ''k''<sub>''n''</sub>*''a''<sub>''n''</sub> = 1 .
Ogólniej:
 
Jeśli: jeśli liczby ''a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>'' są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite ''k<sub>1</sub>, ..., k<sub>n</sub>'', że
===Przykłady===
takie, że:: ''k''<sub>1</sub>*''a''<sub>1</sub> + ... + ''k''<sub>''n''</sub>*''a''<sub>''n''</sub> = 1 .
 
* 31 i 49 są względnie pierwsze.
* Trójka 10, 12 i 15 to liczby względnie pierwsze, choć pary (10,12), (10,15) i (12,15) względnie pierwsze nie są. <br>Uwaga: najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 60, a nie 10*12*15 = 1800.
 
==Zobacz też==
* [[Algorytm Euklidesa]]
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[Liczbyliczby pierwsze]]
* [[Funkcjaalgorytm φEuklidesa]]
* [[funkcja φ]]
 
 
[[kategoriaKategoria:teoriaTeoria liczb]]
 
[[ar:أعداد أولية فيما بينها]]
Anonimowy użytkownik