Dwustosunek: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: hu:Kettősviszony |
napisanie artykułu od podstaw |
||
Linia 1:
[[Grafika:
'''Dwustosunek''' (stosunek anharmoniczny) czterech współliniowych punktów – funkcja postaci
:<math>(A,B;C,D)=\frac{A^*-C^*}{A^*-D^*}\cdot\frac{B^*-D^*}{B^*-C^*}</math>
gdzie punkty A,B,C,D spełniają <math>A\not=D, B\not=C</math>
oraz <math>X^*</math> jest [[układ współrzędnych | współrzędną]] punktu X w układzie współrzędnych na danej prostej.
Podstawowe pojęcie geometrii rzutowej.
<small>
Jak widać, powyższa definicja zakłada istnienie układu współrzędnych na rozpatrywanej prostej.
Jeśli '''dwustosunek''' stosujemy na płaszczyźnie euklidesowej to wystarczy zbudować dowolny [[układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjański układ współrzędnych]] wykorzystując relację [[przystawanie (geometria)|przystawania]] i [[prostopadłość|relację prostopadłości]]. Jeśli stosujemy go na płaszczyźnie rzutowej to trzeba zbudować jakiś [[układ współrzędnych rzutowych |rzutowy układ współrzędnych]] wykorzystując relację [[czwórka harmoniczna|harmoniczności]] punktów rzutowych
Wybór układu współrzędnych z wielu możliwych nie wpływa na wartość dwustosunku.
</small>
==Własności arytmetyczne dwustosunku==
#<math>(A,B;C,D) = (C,D;A,B)\, </math>
#<math>(A,B;C,D)\cdot(A,B;D,C) = 1\,</math>
#<math>(A,B;C,D) + (A,C;B,D) = 1 \,</math>
#<math>(A,B;C,D)\cdot(A,B;D,E) = (A,B;C,E) \,</math>
#<math>\forall (A,B,C \in p) \forall (z \in R )\exists (D\in p) : (A,B;C,D)=z \,\quad,</math>('''p''' oznacza prostą, '''R''' jest ciałem liczbowym)
W niektórych ujęciach powyższe własności dołączane są do aksjomatyki 2-wymiarowej geometrii rzutowej<ref name="dubikajtis">L. Dubikajtis Wiadomości z geometrii rzutowej PZWS W-wa 1972</ref> jako aksjomaty opisujące pierwotną funkcję dwustosunku.
Ponadto
#<math>A=C \vee B=D \Rightarrow (A,B;C,D)=0 \,</math>
#<math>A=B \vee C=D \Rightarrow (A,B;C,D)=1\,</math>
#<math>A\rightarrow D \vee B\rightarrow C \Rightarrow (A,B;C,D)\rightarrow \infty\,</math>
==Rzutowy charakter dwustosunku==
Ostatni przykład z poprzedniej sekcji pokazuje, że w istocie dwustosunek jest funkcją o wartościach w zbiorze <math>R \cup \{ \infty \}</math>. Zbiór ten można rozumieć jako zbiór liczb rzeczywistych domknięty do okręgu punktem w nieskończoności. Omawiana własność w symbolicznym zapisie przybierze postać:
:<math>A=D \vee B=C \Rightarrow (A,B;C,D)=\infty\,</math>
Taki punkt widzenia można poszerzyć uwzględniając, że w każdym rzeczywistym modelu płaszczyzny(przestrzeni) rzutowej proste są [[homeomorfizm|homeomorficzne]] z okręgiem i tzw. punkty w nieskończoności są tak samo "dobrymi" punktami jak pozostałe, a ich wyjątkowość wynika jedynie z wybranego układu współrzędnych.
Inaczej mówiąc dopuszcza się, aby niektóre z punktów były punktami w nieskończoności:
#<math>(A,B;C,\infty)= \frac{A^*-C^*}{B^*-C^*}\,</math> (stosunek podziału odcinka)
#<math>(A,\infty;C,\infty)= 0\,</math>
#<math>(\infty,B;C,\infty)= \infty\,</math>
==Znak dwustosunku a relacja rozdzielania==
[[Grafika:Cross_ratio01a.svg|thumb|right|180px|Punkty A,B nie rozdzielają punktów C,D. Jednocześnie punkty A,C rozdzielają punkty B,D.]]
Na prostej rzutowej [[homeomorfizm|homeomorficznej]] z okręgiem zamiast nieprzydatnej relacji "leżenia między" stosuje się relację rozdzielania. W naturalny sposób relacja ta pozwala wyróżnić jedno z dwóch wnętrz odcinka i ogólniej - pozwala zdefiniować [[topologia|topologię]] na prostej rzutowej. W niektórych aksjomatykach rozdzielanie wprowadzane jest jako pojęcie pierwotne<ref>K. Borsuk, W. Szmielew "Podstawy geometrii" BM 10</ref>.
Zachodzi ważna zależność:
*Jeśli para punktów '''A,B''' rozdziela parę punktów '''C,D''' to <math>(A,B;C,D)<0 \,</math>
*Jeśli para punktów '''A,B''' nie rozdziela pary punktów '''C,D''' to <math>(A,B;C,D) >0 \,</math>
Specjalny przypadek rozdzielania punktów C,D przez punkty A,B zachodzi, gdy
:<math>(A,B;C,D)=-1\,</math>.
W pewnym [[układ współrzędnych rzutowych|rzutowym układzie współrzędnych]] odpowiada to punktom o współrzędnych <math>1,-1, 0,\infty</math> bowiem
:<math>\frac {1-0}{1-\infty} \cdot \frac{-1-\infty}{-1-0} \rightarrow -1 </math>
Z samej zasady konstruowania takiego układu wynika, że punkty o tych współrzędnych mogą być wyznaczone przy użyciu [[czworobok zupełny|czworokąta zupełnego]]. O punktach takich mówimy wówczas, że tworzą [[czwórka harmoniczna|czwórkę harmoniczną]] lub, że rozdzielają się [[czwórka harmoniczna|harmonicznie]].
==Dwustosunek jako niezmiennik przekształceń rzutowych==
Dwustosunek jest najprostszą funkcją metryczną będącą niezmiennikiem przekształceń rzutowych. Albo odwrotnie – dwustosunek jest niezmiennikiem dowolnych przekształceń płaszczyzny z przekształceniami rzutowymi włącznie.
Znaczenie tego niezmiennika na tle innych niezmienników ilustruje poniższa tabela (za <ref name="dubikajtis"/>):
{|class="wikitable"
!Niezmiennik
! największa grupa przekształceń zachowująca niezmiennik
|-
|Odległość między punktami
| izometrie
|-
|Miara kąta w trójkącie
| podobieństwa
|-
|Stosunek podziału odcinka
| przekształcenia afiniczne
|-
|Dwustosunek
| przekształcenia rzutowe
|}
Z zestawienia widać, że stosunek podziału odcinka na ogół zmienia się przy przekształceniach rzutowych. Tymczasem dwa różne stosunki podziału ( stąd „dwustosunek”) tego samego odcinka zmieniają się proporcjonalnie do siebie. Czyli ich iloraz jest stały:
<math>(A,B;C,D) = \frac{ \frac{A^*-C^*}{A^*-D^*} }{ \frac {B^*-C^*}{B^*-D^*} }</math>
tutaj w liczniku i w mianowniku mamy dwa różne podziały odcinka '''CD''', w liczniku punktem '''A''', w mianowniku punktem '''B'''.
Niezmienniczość dwustosunku względem przekształceń rzutowych można dość łatwo wykazać przy użyciu [[Funkcja homograficzna|funkcji homograficznej]]
:<math>u(z) = \frac{pz+q}{rz+s}</math>
gdzie <math>ps-qr \not=0 </math>
Funkcja homograficzna jest bowiem analityczną postacią dowolnego przekształcenia rzutowego na prostej, na której określono jakiś układ współrzędnych.
Określamy funkcję <math> X \rightarrow f(X) </math>
Przypisującą punktowi '''X''' o współrzędnej <math>X^*\,</math> punkt <math>f(X)\,</math> o współrzędnej
:<math>f^*(X^*) = \frac{pX^*+q}{rX^*+s}</math>
dla pewnych p,q,r,s <math> ps-qr\not=0</math>
wówczas
:<math>(f(A),f(B);f(C),f(D))=(A,B;C,D)\,</math>
bowiem, co rachunkowo łatwo sprawdzić
:<math>\frac{f^*(A^*)-f^*(C^*)}{f^*(A^*)-f^*(D^*)}\cdot\frac{f^*(B^*)-f^*(D^*)}{f^*(B^*)-f^*(C^*)} =
\frac{A^*-C^*}{A^*-D^*}\cdot\frac{B^*-D^*}{B^*-C^*}</math>
==Dwustosunek w modelu Kleina geometrii hiperbolicznej==
Ciekawym zastosowaniem dwustosunku jest definicja odległości dwóch punktów w modelu Kleina [[geometria hiperboliczna|geometrii hiperbolicznej]].
[[Grafika:Cross_ratio02.svg|200px|right||]]
Jeśli '''a,b''' są punktami płaszczyzny hiperbolicznej, '''p,q''' są punktami przecięcia '''pr(a,b)''' z horyzontem to:
:<math>\rho(a,b) = |ln(a,b;p,q)| \,</math>
Ponieważ '''a,b''' nigdy nie rozdzielają '''p,q''' więc dla <math>a\not=b</math> zachodzi '''(a,b;p,q)>0''' tzn.'''ρ'''(a,b) jest zawsze określona (i też dodatnia).
Z wyżej omówionych arytmetycznych własności dwustosunku (i oczywiście z własności funkcji '''ln''') natychmiast dostajemy:
*'''ρ'''(a,a)=0
*'''ρ'''(a,b) = '''ρ'''(b,a)
*jeśli a,b,c są współliniowe i b leży między a,c to '''ρ'''(a,c) = '''ρ'''(a,b) + '''ρ'''(b,c)
Nieco trudniejszy jest dowód własności:
*izometria zachowuje wartość '''ρ'''
<small>
tutaj izometrie rozkłada się na [[symetria osiowa|symetrie osiowe]], a te realizuje się za pomocą pewnej [[kolineacja perspektywiczna|kolineacji środkowej]], w której środek jest [[biegun|biegunem]] osi symetrii względem kołowego horyzontu. A skoro kolineacje jako przekształcenia rzutowe zachowują dwustosunek więc zachowują wartość '''ρ'''</small>
Wymienione cztery własności funkcji '''ρ''' gwarantują, że jest to [[przystawanie (geometria)#Przystawanie a miara|miara]] w modelu Kleina.
==Dwustosunek pęku prostych==
[[Grafika:Cross_ratio03.svg|180px|right||]]
Jeśli pęk czterech prostych przetniemy dwiema różnymi prostymi (nie przechodzącymi przez środek pęku) to każda z tych dwóch prostych wyznaczy po cztery punkty przecięcia z prostymi pęku. Jedna z tych czwórek punktów tj. '''A’,B’,C’,D’''' jest w oczywisty sposób obrazem pierwszej czwórki '''A,B,C,D''' w pewnej kolineacji środkowej.
Oznacza to, że (A,B;C,D)=(A’B;C’D’). Ponieważ dwustosunek nie zależy od wyboru tych prostych jest on więc stały dla pęku prostych. I można go przyjąć jako definicję dwustosunku pęku czterech prostych:
;;Dwustosunek pęku czterech prostych jest dwustosunkiem odpowiednich czterech punktów otrzymanych z przecięcia tego pęku przez dowolną prostą nieprzechodzącą przez środek pęku.
[[Grafika:Cross_ratio04.svg|120px|left||]]
Konfiguracja [[zasada dualności|dualna]] składa się z dwóch pęków prostych '''a,b,c,d''' oraz '''a',b',c',d' ''' i z prostej przecinającej oba pęki w punktach przecięcia się odpowiednich prostych obu pęków.
Zgodnie z powyższą definicją dwustosunku pęku prostych oba pęki mają identyczny dwustosunek.
[[Grafika:Cross_ratio05.svg|280px|right||]]
Na płaszczyźnie euklidesowej dwustosunek pęku czterech prostych można wyliczyć wprost z następującego wzoru:
:<math>\frac{sin(\alpha-\gamma)}{sin(\alpha-\delta)}\cdot\frac{sin(\beta-\delta)}{sin(\beta-\gamma)}</math>
gdzie '''α, β, γ, δ''' są współrzędnymi kątowymi wybranych półprostych z prostych pęku.
Wybór początku [[układ współrzędnych biegunowych |układu biegunowego]] ani wybór jednej z dwóch możliwych półprostych na każdej prostej pęku nie wpływa na wartość powyższego wyrażenia.
Poprawność powyższego wzoru (tj. zgodność z definicją dwustosunku pęku prostych) łatwo udowodnić stosując np. twierdzenie sinusów.
'''Uwaga:'''
Na płaszczyźnie rzutowej zastosowanie ostatniego wzoru wymaga uprzedniego zmetryzowania płaszczyzny, co pozwoli na wprowadzenie pojęcia kąta a tym samym [[układ współrzędnych biegunowych |biegunowego układu współrzędnych]].
{{przypisy}}
{{geometria stub}}
|