Wersja z 22:51, 12 mar 2008 edytuj Olaf (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy 23 733 edycje m wikizacja, do weryfikacji (patrz dyskusja) ← poprzednia edycja		Wersja z 01:21, 7 lis 2008 edytuj anuluj edycję Kwk (dyskusja \| edycje) 115 edycji Rozwinięta definicja obwiedni dla powierzchni parametrycznych i implicite. Przykłady. następna edycja →
Linia 1: '''Obwiednia''' - (ang. ''envelope'') to matematyczne pojęcie z zakresu [[geometria różniczkowa\|geometrii różniczkowej]] dotyczące [[rodzina zbiorów\|rodzin]] [[krzywa\|krzywych]]. ~~{{do weryfikacji\|patrz dyskusja}}~~ '''Obwiednia''' - to matematyczne pojęcie z zakresu [[geometria różniczkowa\|geometrii różniczkowej]] dotyczące [[rodzina zbiorów\|rodzin]] [[krzywa\|krzywych]]. Krzywą, która w każdym swym punkcie jest [[styczna]] do jakiejś krzywej z tej rodziny, nazywa się obwiednią tej rodziny. == Obwiednia powierzchni parametrycznej == ~~Jeśli jednoparametrowa rodzina linii dana jest równaniem <math>F(x, y, c) = 0</math>, to równanie jej obwiedni otrzymuje się rugując parametr <math>c</math> z układu równań:~~ ~~:<math>F (x, y, c) = 0, F_c(x, y, c) = 0\;</math>~~ ~~gdzie <math>F_c</math> oznacza [[pochodna czastkowa\|pochodną cząstkową]] funkcji <math>F(x, y, c) = 0</math> względem parametru <math>c</math>.~~ === Definicja === ~~Na przykład obwiednią rodziny prostych <math>y - 2cx + c^2 = 0</math> jest parabola <math>y = x^2</math>. Analogicznie wyznacza się obwiednię rodziny [[powierzchnia\|powierzchni]].~~ Niech dane będzie odwzorowanie '''p''' opisujące (n-1)-wymiarową [[powierzchnia\|powierzchnię]] zanurzoną w n-wymiarowej przestrzeni: :<math>\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R} \supset U \ni (\mathbf{u},t) \mapsto \mathbf{p}(\mathbf{u},t) \in \mathbb{R}^{n}</math> Obwiednią '''E''' powierzchni '''p''' względem parametru t jest zbiór punktów spełniających warunek: :<math>\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(\mathbf{u},t) \in T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)}</math> gdzie <math>T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)}</math> jest [[przestrzeń liniowa\|liniową]] [[przestrzeń styczna\|podprzestrzenią styczną]] do powierzchni '''p''' w punkcie '''p'''('''u''',t=const). Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach <math>\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u^i}</math> (dla ''i'' = 0, ..., n-1). Opisany warunek można zapisać: :<math> \det \left[ \begin{array}{cccc} \frac{\partial p^0}{\partial t} & \frac{\partial p^0}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^0}{\partial u^{n-1}} \\ \frac{\partial p^1}{\partial t} & \frac{\partial p^1}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^1}{\partial u^{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial p^n}{\partial t} & \frac{\partial p^n}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^n}{\partial u^{n-1}} \end{array} \right] = 0 </math> === Powierzchnia trójwymiarowa === Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni <math>\mathbf{p}(u,v,t) \in \mathbb{R}^3</math> można zapisać przy pomocy: :<math> \det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(u,v,t) & \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}(u,v,t) & \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}(u,v,t) \end{array} \right] = 0 </math> Powyższe równanie może być zapisane z użyciem [[iloczyn skalarny\|iloczynu skalarnego]] wektora <math>\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}</math> oraz [[wektor normalny\|wektora normalnego]] <math>n</math> do powierzchni '''p''' w punkcie <math>(u,v)</math>: :<math>\langle \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}, \mathbf{n}(u,v) \rangle = 0</math> gdzie <math>n(u,v)</math> jest [[iloczyn wektorowy\|iloczynem wektorowym]] pochodnych cząstkowych odwzorowania '''p''': :<math>\mathbf{n}(u,v) = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}</math> === Przykład === Jednostkowa kula w przestrzeni dwuwymiarowej jest sparametryzowana kątem <math>\alpha</math>: :<math>\mathbf{p}(\alpha,t) = (\cos{\alpha} + t, \sin{\alpha})</math> pochodne cząstkowe względem <math>\alpha</math> i <math>t</math> wynoszą: :<math>\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \alpha} = (-\sin{\alpha}, \cos{\alpha})</math> :<math>\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} = (1, 0)</math> Równanie obwiedni ma zatem postać: :<math> \det \left[ \begin{array}{cc} -\sin{\alpha} & 1 \\ \cos{\alpha} & 0 \end{array} \right] = 0 \Leftrightarrow \cos{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + n \pi </math> zaś samą obwiednię stanowią dwie proste <math>y = 1</math> oraz <math>y = -1</math> na płaszczyźnie OXY. == Obwiednia powierzchni implicite == === Definicja === Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni n-wymiarowej opisana równaniem: :<math>F(\mathbf{p},t) = 0</math> gdzie <math>\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n</math>, <math>t \in \mathbb{R}</math> oraz <math>F \mapsto \mathbb{R}</math>. Obwiednią '''E''' powierzchni opisanej przy pomocy <math>F</math> są punkty <math>(\mathbf{p},t)</math>, dla których spełnione są: :<math> \frac{\partial F}{\partial t}(\mathbf{p},t) = 0 \wedge F(\mathbf{p},t) = 0 </math> === Przykład === Jednostkowa kula w przestrzeni dwuwymiarowej opisana jest za pomocą: :<math>F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1</math> Pochodna cząstkowa <math>F</math> względem <math>t</math> wynosi: :<math>\frac{\partial F}{\partial t} = -2(x - t)</math> Równanie obwiedni ma zatem postać: :<math> \left\{ \begin{array}{l} F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1 = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t) = -2(x - t) = 0 \end{array} \right. </math> z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste <math>(x = t, y = \pm 1)</math>. == Zobacz też == * [[powierzchnia]] * [[geometria różniczkowa]] * [[krzywa]] == Linki zewnętrzne == * http://mathworld.wolfram.com/Envelope.html [[Kategoria:Geometria analityczna]]

Obwiednia: Różnice pomiędzy wersjami