Funkcja addytywna zbioru: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m int., polskie znaki |
m drobne redakcyjne, WP:SK, drobne merytoryczne |
||
Linia 1:
{{disambigR|własności funkcji określonej na ciele zbiorów|[[funkcja addytywna|addytywność]] funkcji w algebrze oraz [[addytywność (fizyka)|addytywność]] w fizyce}}
'''Funkcja addytywna zbioru''' – funkcja określona na pewnym [[Ciało zbiorów|ciele zbiorów]] o wartościach w zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], której
== Definicje ==
Niech <math>{\mathcal F}</math> będzie ciałem podzbiorów pewnej przestrzeni <math>X</math> oraz niech <math>f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}</math>.
* Mówimy, że funkcja
: <math>f(A\cup B) \leqslant f(A)+ f(B)</math> dla wszystkich <math>A,B\in {\mathcal F}</math>.
* Powiemy, że
: <math>f(A\cup B)=f(A)+ f(B)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|rozłącznych]] <math>A,B\in {\mathcal F}</math>.
*
: <math>f\left(\bigcup_{n
Często funkcjami (pod)addytywnymi zbiorów nazywa się funkcje określone na <math>\mathcal{F}</math> o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]], w której określone jest [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), spełniające analogiczne warunki, jak wyżej. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych przestrzeniach unormowanych nazywane są, na przykład [[miara wektorowa|miarami wektorowymi]].
Linia 21:
* Każda [[Miara (matematyka)|miara]] jest funkcją σ-addytywną. Miary skończenie addytywne są funkcjami addytywnymi.
* Jeśli <math>f:{\mathcal F}\longrightarrow {\mathbb R}</math> jest funkcją addytywną, to
:: <math>f(\bigcup_{n=0}^N A_n)=\sum_{n=0}^Nf(A_n)</math> dla wszystkich parami rozłącznych zbiorów <math>A_0,A_1,\ldots, A_N\in {\mathcal F}</math>.
* [[Wahanie miary wektorowej]] jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej σ-addytywnej jest miarą (a więc funkcją σ-addytywną).
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[ścisła addytywność|ścisła addytywność rodziny miar wektorowych]].
| |||