Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne, +sekcja własności
(porawka była dobra, bo [suma zbiorów = dopełnienie iloczynu dopełnień tych zbiorów], WP:SK, drobne merytoryczne)
(drobne redakcyjne, +sekcja własności)
'''Niezależność zdarzeń''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]]<ref>Elementy σ-ciała <math>\scriptstyle{\mathcal{A}}</math> nazywamy zdarzeniami.</ref> <math>A, B</math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> nazywane są zdarzeniami '''niezależnymi''', gdy
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>.
W szczególności, wynika stąd, że zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ma prawdopodobieństwo zerowe. Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu <math>(i_1, \ldots, i_k)</math> o wyrazach ze zbioru <math>\{1,\ldots, m\}</math> spełniony jest warunek
 
: <math> P(A_{i_{1}} \cap ... \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}}) \cdot ... \cdot P(A_{i_{k}})</math>.
 
GdyDefinicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots, A_n</math> są niezależne, togdy zdarzeniadla dokażdej nichliczby przeciwnenaturalnej ''n'' zdarzenia <math> A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime </math> też są niezależne oraz:.
 
== Własności ==
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math> A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime </math> też są niezależne oraz:
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k))</math>.
Por. [[prawa de Morgana]].
 
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne.
 
== Niezależność σ-ciał ==
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
σ-ciała <math>\sigma(A_1), \ldots, \sigma(A_n)</math> są niezależne.
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu statystyki]],
* [[zależność zmiennych losowych]].
 
{{przypisy}}
== Bibliografia ==
# {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |inni= |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |data= |rok=2004 |miesiąc= |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |strony=43-47}}
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu statystyki]],
* [[zależność zmiennych losowych]].
 
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|niezależność]]
1426

edycji