Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 446 bajtów ,  13 lat temu
drobne merytoryczne
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
(drobne merytoryczne)
{{disambigR|ortogonalności w [[matematyka|matematyce]]|[[Ortogonalność grup ochronnych]] (pojęcie w [[chemia|chemii]])}}
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – proste, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[Geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na przestrzenie z określonym [[przestrzeńiloczyn unitarnaskalarny|przestrzenieiloczynem unitarneskalarnym]]. Szczególnym przypadkiem ortogonalności jest ([[ortonormalnośćprzestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]]).
 
==Definicja==
[[Wektor]]yElementy <math>x, y</math> przestrzeni unitarnej <math>X</math> z [[Iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> nazywamy '''ortogonalnymi''' wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\langle x, y\rangle = 0</math>. Symbolicznie: <math>x \perp y</math>.
:<math>\langle x, y\rangle = 0</math>.
Zdanie ''elementy <math>x</math> i <math>y</math> są ortogonalne'' zapisuje się krótko <math>x \perp y</math>. Podzbiór <math>A\subseteq X</math> nazywamy ortogonalnym, gdy każde dwa różne elementy tego zbioru są ortogonalne. Zbiory o tej własności często nazywane są układami ortogonalnymi.
 
; Uwaga: [[Wektor zerowy]] jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, mówi się o ''prostopadłości'' danych wektorów, choć przypadek wektora zerowego pokazuje, że intuicje geometryczne nie zawsze są w tym przypadku pomocne.
 
==Przykłady==
==Funkcje ortogonalne==
===Przestrzenie euklidesowe===
Ze względu na ogólność pojęcia [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]], a co za tym idzie przestrzeni unitarnej, obejmującego zakresem również przestrzenie [[wielomian|wielomianów]] i innych funkcji, mówi się konsekwentnie o '''[[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]''' i '''funkcjach ortogonalnych'''. Należy wówczas pamiętać względem jakiego iloczynu skalarnego rozpatrujemy ortogonalność.
W przestrzeni <math>\mathbb{R}^2</math> (ze standardowym iloczynem skalarnym oznaczanym symbolem <math>\circ</math>) wektory <math>[-1, 3]</math> i <math>[3,1]</math> są ortogonalne (prostopadłe) ponieważ
:<math>[-1,3]\circ [3,1]=-1\cdot 3+ 3\cdot 1=0</math>
 
===PrzykładyPrzestrzenie funkcyjne===
O pojęciu ortogonalności mówi się najczęściej w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcji]], w których określony jest pewien iloczyn skalarny - z tego powodu mówi się często o [[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]] czy, po prostu, funkcjach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest tutaj [[Przestrzeń Lp|przestrzeń]] ''L''<sup>2</sup>[''a'',''b''], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale [''a'',''b''] o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[Przestrzeń Lp|całkowalnych w drugiej potędze]]. Iloczyn skalarny elementów ''f'' i ''g'' z tej przestrzeni wyraża się wzorem
Rozpatrzmy przestrzeń <math>L^2([a, b])</math>, czyli [[przestrzeń Lp|przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem]] na przedziale <math>[a, b]</math>, gdzie iloczyn skalarny dany jest wzorem <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(x) g(x) dx</math>. Układem funkcji ortogonalnych na przedziale <math>[-\pi,\pi]</math> jest <math>\left\{ {1 \over \sqrt{2 \pi}}, {\sin nx \over \sqrt \pi}, {\cos nx \over \sqrt \pi} \right\}</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N</math>.
 
:<math>\langle f, g\rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)}dt</math>.
 
Jeżeli [''a'',''b'']=[''-π'',''π''], to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w [[analiza harmoniczna|analizie harmonicznej]] jest rodzina
:<math>\left\{ {1 \over \sqrt{2 \pi}}, {\sin nx \over \sqrt \pi}, {\cos nx \over \sqrt \pi}\colon n\in \mathbb{N} \right\}</math>.
 
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[Wielomiany Czebyszewa|wielomiany Czebyszewa]].
 
Innymi przykładem może być układ funkcji <math>\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\dots</math> badany w teorii [[szereg Fouriera|szeregów Fouriera]]. Przykładem wielomianów ortogonalnych są [[wielomiany Legendre'a]] rozpatrywane w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]] i [[analiza numeryczna|analizie numerycznej]].
 
==Zobacz też==
Anonimowy użytkownik