Równanie Heisenberga

Równanie Heisenberga - fundamentalne równanie ruchu mechaniki kwantowej. Jest ono odpowiednikiem równania Schrödingera. Mechanika kwantowe może być zdefiniowana w równoważny sposób w różnych obrazach, które związane są ze sobą pewną transformacją unitarną. Najczęściej spotykanymi obrazami są:

• Obraz Schrödingera
• Obraz Heisenberga
• Obraz Oddziaływania.

W każdym obrazie równia ruchu przyjmują inną postać. W obrazie Schrödingera ewolucji czasowej podlegają stany kwantowe zgodnie z równaniem Schrödingera. Natomiast w obrazie Heisenberga stany są stałe w czasie natomiast ewolucji podlegają obserwable. Równanie Heisenberga determinujące ewolucję czasową obserwabli ma postać:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),{\hat {H}}],$

gdzie

$A(t)$ jest obserwablą w obrazie Heisenberga,

${\hat {H}}$ jest Hamiltonianem układu.

Jeśli Hamiltonian ma postać: $H={\frac {1}{2m}}{\vec {p}}^{2}+U({\vec {x}})$, wówczas równania ruchu mechaniki kwantowej, przyjmują postać zbliżoną do równań mechaniki klasycznej (należy pamiętać, że wielkości występujące poniżej są niekomutującymi operatorami, a nie funkcjami rzeczywistymi jak w mechanice klasycznej):

${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)={\frac {\vec {p(t)}}{m}}$

${\frac {d}{dt}}{\vec {p}}(t)=-\nabla U({\vec {x(t}}))$.