Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 514 bajtów ,  12 lat temu
(Zapraszam do rozbudowywania (zastosowania, inne przypadki, uogólnienia))
 
Niech <math> H </math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz niech <math> T : H \to H </math> będzie operatorem [[Operator ograniczony|ograniczonym]] i [[operator normalny|normalnym]]<ref> W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.</ref>. Wówczas istnieje dokładnie jedna [[Hermitowska miara spektralna|miara spektralna]] <math> F </math> określona na [[sigma-ciało|σ-ciele]] [[Podzbiór|podzbiorów]] [[Zbiór borelowski|borelowskich]] [[widmo (matematyka)|widma]] <math> \sigma (T) </math> operatora <math> T </math> taka, że:
: <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda F(d\lambda) </math>
 
=== Uwagi ===
* Miara spektralna <math> F </math> z powyższego twierdzenia jest nazywana ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T .</math>
* Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną <math> F </math> jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich <math> A </math> zbioru <math> \mathbb{C}. </math> Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo:
:: <math> F(A) = 0 </math> jeżeli <math> A \cap \sigma(T) = \varnothing . </math>
 
== Zobacz też ==
1426

edycji