Krzywa regularna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano opis i sekcję operacje na krzywych reg. Zmodyfikowano pierwszą def. i poprawiono przykład. |
Modyfikacja definicji, dodano przykłady, rozbudowano operacje na krzywych, dodano sekcję o krzywych równoważnych. |
||
Linia 2:
==Definicje==
#[[para uporządkowana|Parę uporządkowaną]] <math>\Gamma=(\gamma,|\Gamma|)\,</math>, gdzie <math>\gamma\colon[\alpha, \beta]\to\mathbb{C}</math>, <math>|\Gamma|=\gamma([\alpha,\beta])\,</math>, nazywamy '''krzywą regularną''', gdy <math>\gamma\,</math> jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] oraz istnieje skończony układ punktów <math>\{ t_0, t_1, \ldots, t_n\}</math> takich, że <math>\alpha=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=\beta</math> i <math>\gamma|_{[t_{i-1},t_i]}</math> ma w każdym punkcie przedziału <math>[t_{i-1},\ t_i]</math>, <math>i\in\{1, 2, \ldots, n\},</math> [[funkcja ciągła|ciągłą]] [[pochodna funkcji|pochodną]].
#'''Krzywa''' <math>L\subset\mathbb{R}^n</math> jest '''regularna''' wtedy i tylko wtedy, gdy: <math>\exists (K_1, K_2,\ldots,K_n):\forall i\in \{ 1,2,\ldots,n \}: K_i</math> – [[łuk regularny]] i koniec <math>K_i\ </math> to początek <math>K_{i+1}\ </math>. Jeżeli dodatkowo koniec <math>K_n\ </math> równa się początkowi <math>K_1\ </math> to krzywą <math>L\ </math> nazywamy krzywą regularną zamkniętą.
==Równoważność krzywych regularnych==
==Operacje na krzywych regularnych==
===Krzywa przeciwna===
▲# Niech <math>\Gamma,\tilde\Gamma</math> będą krzywymi regularnymi o parametryzacjach opdpowiednio <math>\gamma\colon[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}\,</math>, <math>\tilde\gamma\colon[\tilde\alpha,\tilde\beta]\to\mathbb{C}\,</math>. Krzywe <math>\Gamma,\tilde\Gamma\,</math> nazywamy '''równoważnymi''', gdy istnieje [[surjekcja]] rosnąca (i tym samym [[funkcja ciągła|ciągła]]) <math>\sigma\colon[\alpha,\beta]\to[\tilde\alpha,\tilde\beta]\,</math> oraz układ punktów <math>\alpha=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=\beta,</math> że dla każdego <math>i\in\{1, 2, \ldots, n\}</math> funkcja <math>\sigma|_{[t_{i-1},t_i]}</math> ma [[funkcja ciągła|ciągłą ]] [[pochodna|pochodną]] i <math>\gamma=\tilde\gamma\circ\sigma.</math>
Niech <math>\Gamma\,</math> będzie krzywą regularną o parametryzacji <math>\gamma\colon[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}.\,</math> Krzywą o opisie parametrycznym <math>\gamma_1\,</math> danym wzorem <math>\gamma_1(t)=\gamma(-t)\,</math> dla <math>t\in[-\beta,-\alpha]\,</math> nazywamy '''krzywą przeciwną''' do <math>\Gamma\,</math> i oznaczamy <math>-\Gamma.\,</math>
===Suma krzywych===
Niech <math>\gamma_1\colon[\alpha_1,\beta_1]\to\mathbb{C},\,</math> <math>\gamma_2\colon[\alpha_2,\beta_2]\to\mathbb{C},\,</math> będą odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych <math>\Gamma_1,\,</math> <math>\Gamma_2.\,</math> Jeśli <math>\gamma_1(\beta_1)=\gamma_2(\alpha_2),\,</math> to krzywą o opisie parametrycznym <math>\gamma\,</math> danym wzorem
<center>
<math>\gamma(t)=\begin{cases} \gamma_2(t) & \text{dla } t\in [\alpha_1,\beta_1]\\ \gamma_2(t-\beta_1+\alpha_2)&\text{dla } t\in [\beta_1,\beta_1+\beta_2 -\alpha_2] \end{cases} </math>
</center>
nazywamy '''sumą''' tych '''krzywych''' i oznaczamy <math>\Gamma_1+\Gamma_2\,</math>
==Przykłady==
===Odcinek zorientowany===
Niech <math>a,b\in\mathbb{C}.\,</math> '''Odcinkiem zorientowanym''' o początku w punkcie <math>a\,</math> i końcu w punkcie <math>b\,</math> nazywamy krzywą o opisie parametrycznym <math>\gamma\,</math> danym wzorem <math>\gamma(t)=a+t(b-a),\,</math> <math>t\in [0,1].</math>
===Dodatnio zorientowany okrąg===
'''Dodatnio zorientowanym okręgiem''' o środku w punkcie <math>a\in\mathbb{C}\,</math> i promieniu <math>r>0\,</math>
nazywamy krzywą o opisie parametrycznym <math>\gamma</math> danym wzorem <math>\gamma(t)=a+r\exp(it),\,</math> <math>t\in[0,2\pi].\,</math>
| |||