Macierz diagonalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: eo:Diagonala matrico; zmiany kosmetyczne |
m WP:SK, drobne redakcyjne |
||
Linia 2:
== Definicja ==
'''Macierz diagonalna''' <math> A = (a_{ij})</math> to [[macierz kwadratowa]], której wszystkie współczynniki leżące poza [[przekątna główna macierzy|główną przekątną]] (diagonalą) są równe zeru:
: <math>a_{ij} = 0 \ \ dla \ \ i \ne j</math>.
Macierz diagonalna bywa oznaczana przez <math>\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math>, gdzie <math>a_1,\, a_2, \,...,\, a_n</math> to kolejne współczynniki leżące na głównej przekątnej.
Warto pamiętać, że elementy macierzy diagonalnej leżące na głównej przekątnej również mogą być (wszystkie, lub niektóre) zerami.
== Przykład ==
: Macierz <math>\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)</math> jest macierzą diagonalną.▼
▲:Macierz <math>\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)</math> jest macierzą diagonalną.
== Własności ==
Linia 25 ⟶ 21:
* [[Dodawanie macierzy|suma macierzy]] diagonalnych jest macierzą diagonalną, [[mnożenie macierzy|iloczyn macierzy]] diagonalnych jest macierzą diagonalną, również [[macierz dołączona]] do macierzy diagonalnej jest macierzą diagonalną,
* dwie macierze diagonalne <math>A =
: <math>AB = \mathrm{diag}(a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \ldots, a_n \cdot b_n) </math>,
* [[potęgowanie macierzy]] diagonalnej jest wielokrotnym mnożeniem jej przez siebie, zatem:
: <math>(a_{ij})^N = \left ( a_{ij}^N \right )</math>,
* macierz diagonalna <math>A = (a_{ij})</math>
: <math>A^{-1} = \begin{cases} a_{ij} = a_{ij}^{-1}, & i = j \\ a_{ij} = 0, & i \neq j \end{cases}</math>,▼
▲* macierz diagonalna <math>A = (a_{ij}</math>) jest [[Macierz nieosobliwa|nieosobliwa]] wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki <math>a_{ij}</math> są różne od zera, wtedy:
▲:<math>A^{-1} = \begin{cases} a_{ij} = a_{ij}^{-1}, & i = j \\ a_{ij} = 0, & i \neq j \end{cases}</math>,
* [[wyznacznik]] macierzy diagonalnej <math>A = (a_{ij})</math> jest równy iloczynowi elementów przekątnej:
: <math>\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}</math>.
== Zobacz też ==
* [[diagonalizacja]]
== Linki zewnętrzne ==
| |||