Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej: Różnice pomiędzy wersjami

: (a) <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną z miarą]],

: (b) <math>f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> (dla <math>n\in {\mathbb N}</math>) jest funkcją mierzalną,

: (c) dla pewnej funkcji całkowalnej <math>g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> mamy, że <math>|f_n(x)|\leqleqslant g(x)</math> dla wszystkich <math>x\in X</math> i <math>n\in {\mathbb N}</math>,

: (d) dla wszystkich <math>x\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)</math>; niech funkcja <math>f:X\longrightarrow {\mathbb R}</math> będzie zdefiniowana przez

:: <math>f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)</math> dla <math>x\in X</math>.

:: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0</math> &nbsp; i &nbsp; <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że ''f'' jest funkcją mierzalną oraz <math>|f(x)|\leqleqslant g(x)</math> (dla wszystkich <math>x\in X</math>), a stąd ''f'' jest całkowalna. Zauważmy, że <math>|f_n(x)-f(x)|\leqleqslant 2g(x)</math> (dla każdego ''x''), więc możemy zastosować [[lemat Fatou]] do funkcji <math>h_n=2g-|f_n-f|\ </math>. Ponieważ <math>2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x)</math>, to otrzymujemy wówczas, że

: <math>\int 2g\ d\mu\leqleqslant\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=</math>

: <math>\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)</math>

Stąd już wnioskujemy że <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)=0</math> a zatem <math>\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0</math>. Ponieważ <math>\left|\int f_n-f\ d\mu\right|\leqleqslant\int |f_n-f|\ d\mu</math>, to możemy też wywnioskować, że <math>\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu</math>.

: <math> f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right. </math>