Równanie różniczkowe cząstkowe: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Przykłady: drobne merytoryczne, drobne merytoryczne |
m WP:SK, drobne techniczne |
||
Linia 5:
== Podstawowa definicja ==
Niech <math>k \geqslant 1</math> będzie liczbą całkowitą, a <math>U\,</math> otwartym podzbiorem <math>\mathbb R^n</math>. Równanie postaci:
: <math>F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0</math>, gdzie <math>x \in U</math>
nazywa się '''równaniem różniczkowym cząstkowym <math>k</math>-tego rzędu'''.
Funkcja <math>F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R</math> jest dana, natomiast <math>u\colon U \to \mathbb R</math> jest niewiadomą.
: <math>D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}</math>,
gdzie <math>\alpha\,</math> jest n-wymiarowym [[notacja wielowskaźnikowa|wielowskaźnikiem]].
== Przykłady ==
Wszędzie dalej przyjmujemy, że <math>t \
=== Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu ===
Przypomnijmy następującą definicję: '''Całkami pierwszymi''' układu równań różniczkowych zwyczajnych
: <math>\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)}</math> dla <math>2\
nazywamy funkcje
: <math>c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n)</math> dla <math>1\
powstałe całkowania równań w powyższym układzie.
Jeśli funkcje <math>X_1, \ldots, X_n</math> są klasy <math>C^1</math> w pewnym obszarze <math>D\subseteq \mathbb{R}^n</math> oraz <math>X_1\neq 0</math> wtedy każde rozwiązanie <math>u(x_1, \ldots, x_n)</math> równania
: <math>X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0</math>
można zapisać w postaci
: <math>u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1})</math>, gdzie <math>\psi_1,\ldots, \psi_{n-1}</math> są całkami pierwszymi układu (*) a <math>\Psi</math> jest dowolną funkcją klasy <math>C^1</math> (''n''-1)-zmiennych.
=== Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe ===
Linia 70:
[[sv:Partiell differentialekvation]]
[[ta:பகுதி வகையீட்டுச் சமன்பாடு]]
[[vi:Phương trình vi phân riêng phần]]▼
[[tr:Kısmi diferansiyel denklemler]]
▲[[vi:Phương trình vi phân riêng phần]]
[[zh:偏微分方程]]
| |||