Twierdzenie Stokesa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: ko:스토크스의 정리 |
uogólnienie |
||
Linia 21:
== Zastosowania ==
Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych.
==Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa==
Twierdzenie Stokesa można uogólnić na powierzchnie orientowalne w przestrzeni <math>\mathbb{R}^N</math>. Dokładniej:
Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\mbox{cl Int}K</math> oraz, że brzeg <math>\mbox{Fr}K</math> jest (''M''-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwarym]] zawierającym powierzchnię <math>H</math>, <math>\Omega\colon S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[k-forma|formą]] klasy <math>C^1</math>, a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H</math>, to
:<math>\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega</math>,
gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> dana jest wzorem
:<math>\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}</math>
dla <math>y\in \mbox{Fr}K</math>, a
:<math>z\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^N</math>
jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y</math>, <math>|z(y)|=1</math>, <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\mbox{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \mbox{Fr}K</math>.
== Zobacz też ==
| |||