Twierdzenie o izomorfizmie: Różnice pomiędzy wersjami

m
poprawa linków
m (poprawa linków)
'''Twierdzenie o izomorfizmie''' – jedno z trzech (najczęściej) [[twierdzenie|twierdzeń]] [[matematyka|matematycznych]] szeroko stosowanych w [[algebraAlgebra uniwersalnaogólna|algebrze uniwersalnej]] mówiących o istnieniu pewnych [[naturalne przekształcenie|naturalnych izomorfizmów]].
 
== Historia ==
Jeżeli
: <math>G, H</math> są grupami, a
: <math>f\colon G \to H</math> jest [[homomorfizmHomomorfizm grupowygrup|homomorfizmem]]
to
: [[jądro (algebra)|jądro]] <math>K</math> homomorfizmu <math>f</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] w <math>G</math>,
W szczególności, jeżeli <math>f</math> jest [[funkcja "na"|suriekcją]] (czyli „na”, a w tym wypadku [[epimorfizm]]em), a jądro jest trywialne, to <math>G</math> jest izomorficzna z <math>H</math>.
 
Jeżeli ciąg rozszczepia się, to <math>G</math> jest w rzeczywistości [[iloczyny grup|iloczynem półprostym]]. W [[kategoria abelowa|kategorii abelowej]] (takiej jak np. [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] i [[moduł (matematyka)|moduły]]) [[lemat o rozszczepianiu]] uściśla ten fakt do rozkładu <math>G</math> na [[sumaIloczyny prostagrup#Suma_prosta|sumę prostą]].
 
=== Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie) ===
 
== Pierścienie i moduły ==
Twierdzenie o izomorfizmie zachodzą również dla [[moduł (matematyka)|modułów]] nad ustalonym [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] <math>R</math> (a więc również i na [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] nad ustalonym [[ciało (matematyka)|ciałem]]). Należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „<math>R</math>-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „[[Moduł (matematyka)#Podmoduły i homomorfizmy|podmoduł]]”, a „grupa ilorazowa” na „[[moduł ilorazowy]]”.
 
W przypadku przestrzeni liniowych pierwsze twierdzenie o izomorfizmie nosi nazwę [[twierdzenie o rzędzie|twierdzenia o rzędzie]].
55 535

edycji