Twierdzenie Arzeli-Ascolego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
+dowód |
→Klasyczna wersja: za ogólnie |
||
Linia 27:
Twierdzenie Arzeli-Ascoliego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiące, że
:Jeżeli <math>(f_n)</math> jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej <math>X</math>
Istotnie, niech <math>\varepsilon>0</math> będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna <math>N</math> taka, że
:<math>\|f_n-f_N\|_{C(X,Y)}<\varepsilon</math> dla <math>n>N</math>.
Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest [[ciągłość jednostajna|jednostajnie ciągła]] (zob. [[twierdzenie Diniego]]), więc istnieje liczba <math>\delta>0</math> taka, że
:<math>
dla <math>1\leq i \leq N, x,y\in X, d(x,y)<\delta</math>. Gdy <math>d(x,y)<\delta</math> oraz <math>n>N</math>, to
:<math>
co kończy dowód.
| |||