Wzór całkowy Cauchy’ego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m robot dodaje: tr:Cauchy integral formülü |
|||
Linia 1:
'''Wzór całkowy Cauchy'ego''' istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że [[funkcja holomorficzna]] zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.
Załóżmy, że ''U'' jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] należącym do dziedziny [[liczby zespolone|zespolonej]] '''C''' oraz ''f'' : ''U''
: <math>f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint\limits_C {f(z) \over z-a}\, dz </math>
gdzie krzywa '''C''' jest zorientowana dodatnio względem swego [[Wnętrze (matematyka)|wnętrza]] (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
Linia 10:
== Przykład użycia ==
Rozważmy funkcję
: <math>f(z)={z^2 \over z^2+2z+2}</math>
oraz kontur ''C'', opisany zależnością: |''z''|=2.
Aby znaleźć całkę ''f''(''z'') po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji ''f''(''z''). Funkcję ''f'' możemy zapisać:
: <math>f(z)={z^2 \over (z-z_1)(z-z_2)}</math> gdzie <math> \ z_1=-1+i, \quad z_2=-1-i.</math>
Otrzymane punkty mają [[Moduł (matematyka)|moduł]] mniejszy niż 2 wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z [[Twierdzenie całkowe Cauchy'ego|Lematu Cauchy'ego - Goursat'a]] możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów ''z''<sub>1</sub> i ''z''<sub>2</sub> gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury ''C''<sub>1</sub> wokół ''z''<sub>1</sub> oraz ''C''<sub>2</sub> wokół ''z''<sub>2</sub>.
Zatem w ''C''<sub>1</sub>, ''f'' jest analityczna (dopóki kontur nie zawiera innych punktów osobliwych), a to pozwala nam zapisać ''f'' w postaci:
: <math>f(z)={z^2 \over z-z_2}</math>
dlatego:
: <math>\oint\limits_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz=2\pi i{z_1^2 \over z_1-z_2}.</math>
Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:
: <math>f(z)={z^2 \over z-z_1}</math>
: <math>\oint\limits_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz=2\pi i{z_2^2 \over z_2-z_1}.</math>
Całka po obszarze ''C'' jest sumą dwóch powyższych całek:
Linia 43:
|}
== Zobacz też ==
* [[Twierdzenie całkowe Cauchy'ego]]
* [[Augustin Louis Cauchy]]
| |||