Skończenie generowana grupa przemienna: Różnice pomiędzy wersjami

cofam. Akurat w tej dziedzinie popularniejsza jest nomenklatura z grup multiplikatywnych
m (drobne techniczne)
(cofam. Akurat w tej dziedzinie popularniejsza jest nomenklatura z grup multiplikatywnych)
'''Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych''' (będące szczególnym przypadkiem [[twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych|twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych]]) może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla [[‎Pierścień ideałów głównych|d.i.g.]]).
 
===Rozkład na składnikiczynniki pierwsze===
Sformułowanie rozkładu na składnikczynniki ipierwszepierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa <math>G</math> jest izomorficzna z [[iloczyny grup#Suma prosta|sumą prostą]] [[grupa cykliczna|cyklicznych grup]] o rzędach będącymi potęgami [[liczby pierwsze|liczb pierwszych]] oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci
:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t}</math>,
gdzie <math>n \geqslant 0</math>, a liczby <math>q_1, \ldots, q_t</math> są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności <math>G</math> jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 0</math>. Wartości <math>n, q_1, \ldots, q_t</math> są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez <math>G</math>.
 
===Rozkład na składnikiczynniki niezmiennicze===
Dowolna skończenie generowana grupa przemienna <math>G</math> może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
:<math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u}</math>,
gdzie <math>k_1</math> [[dzielenie|dzieli]] <math>k_2</math>, które dzieli <math>k_3</math> i tak dalej, aż do <math>k_u</math>. Znowu, liczby <math>n, k_1, \ldots, k_u</math> są jednoznacznie wyznaczone przez <math>G</math> (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane [[składnikczynnik niezmienniczy|składnikamiczynnikami niezmienniczymi]].
 
===Równoważność===
Anonimowy użytkownik