Wikipedia

Funkcje parzyste i nieparzyste: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Xqbot (dyskusja | edycje)
Boty
327 507 edycji
Nie podano opisu zmian
Linia 1:
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcje parzyste i nieparzyste''' to– [[funkcja (matematyka)|funkcje]] zachowujące pewne [[symetria|symetrięsymetrie]] względem znaku [[argumentdodawanie|dodawania]]u. Mianowicie:Funkcja <math>f</math> jest
; funkcja* parzysta, : funkcjajeżeli spełniającaspełnia równanie <math>f(-x) = f(x)</math>;
; funkcja* nieparzysta, : funkcjajeżeli spełniającaspełnia równanie <math>f(-x) = -f(x)</math>.
dla wszystkich <math>x</math> należących do [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]] funkcji <math>f</math>. Powyższe równości wymagają, aby wraz <math>x</math> do dziedziny należał również <math>-x</math>, stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne w następującym sensie: jeżeli <math>D</math> jest dziedziną <math>f</math>, to <math>D = -D</math>, gdzie <math>-D</math> oznacza zbiór <math>\{-x| x \in D\}</math>.
 
Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy [[dziedzina funkcji|dziedziną funkcji]] jest [[podzbiór]] zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy w ogólności [[ciało (choćmatematyka)|ciał]]. definicjeDefinicje mają równieżjednak sens w dziedzinach, dla których możemy określić operację [[elementpierścień przeciwny(matematyka)|elementu przeciwnegopierścieni]], np.a nawet [[liczbygrupa zespolone(matematyka)|grup]]).▼
Dziedzina funkcji parzystych i nieparzystych jest symetryczna: jeżeli <math>x</math> należy do dziedziny, to <math>-x</math> również.
 
▲Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy [[dziedzina funkcji|dziedziną funkcji]] jest [[podzbiór]] zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] (choć definicje mają również sens w dziedzinach, dla których możemy określić operację [[element przeciwny|elementu przeciwnego]], np. [[liczby zespolone]]).
 
== Wykresy ==▼
[[Wykres funkcji|Wykres]] funkcji parzystej jest symetryczny względem osi <math>OY</math>, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli <math>0</math> należy do dziedziny nieparzystej funkcji <math>f</math>, to <math>f(0) = 0</math> (wykres funkcji przechodzi przez środek układu współrzędnych).▼
 
== Przykłady ==
*Istnieją Jedynymifunkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała [[funkcja wykładnicza]], a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są [[funkcja stała|funkcje stałe]] równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny:.▼
=== Funkcje parzyste ===
* [[wartość bezwzględna]] <math> \ f(x) = |x|</math>,▼
* [[funkcja potęgowa]] o parzystym wykładniku, <math> \ f(x) =x^{2k}, k\in \mathbb N</math>,▼
* [[funkcje trygonometryczne|funkcja trygonometryczna]] <math> \ f(x)=\cos x</math>,▼
* [[funkcje hiperboliczne|funkcja hiperboliczna]] <math> \ f(x)=\cosh x</math>,▼
* [[wielomian]]y zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. <math> \ f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4</math>).▼
 
===; Funkcje nieparzyste ===parzyste
▲* [[wartość bezwzględna]] <math> \ f(x) = |x|</math>,
▲* [[funkcja potęgowa]] o parzystym wykładniku, <math> \ f(x) =x^{2k}</math>, gdzie <math>k\in \mathbb N</math>,
▲* [[funkcje trygonometryczne|funkcja trygonometryczna]] <math> \ f(x)=\cos x</math>,
▲* [[funkcje hiperboliczne|funkcja hiperboliczna]] <math> \ f(x)=\cosh x</math>,
▲* [[wielomian]]y zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. <math> \ f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4</math>).
 
; Funkcje nieparzyste
* [[funkcja liniowa]] <math>f(x)= \ ax</math> ([[proporcjonalność prosta]]),
* [[funkcja potęgowa]] o nieparzystym wykładniku: <math>f(x)=x^{2k+1}, k\in \mathbb N</math>,
* funkcje trygonometryczne <math>\ f(x)=\sin x</math> i <math>f(x)=\operatorname{tg} x</math>,
* funkcja hiperboliczna <math>f(x)= \operatorname{tgh} x</math>
* wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. <math> f(x)=x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi}x</math>),
 
== Własności ==
* Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami [[funkcja pusta|funkcji pustej]] oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowe]].
* Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała [[funkcja wykładnicza]].
▲* Jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są [[funkcja stała|funkcje stałe]] równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny:
:: <math>f(x)=0</math> dla wszystkich <math>x \in D</math>.
* Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią [[przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]].
* Każdą funkcję <math>f</math>, dla której takie stwierdzenie ma sens, można rozbićprzedstawić najako sumę funkcji parzystej <math>g</math> parzystej i nieparzystej <math>h</math> nieparzystej, gdzie dla każdego <math>x</math> z dziedziny
*: <math>g(x) =1/2( \frac{f(x)+f(-x))}{2}</math> oraz <math>h(x)=1/2(\frac{f(x)-f(-x))}{2}</math>.
* Niech <math>f_{1}f_1,\,f_{2}f_2</math> będą funkcjami parzystymi, a <math>g_{1}g_1,\,g_{2}g_2</math> funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
*#* <math>f_{1}f_1 \cdot f_{2}f_2</math> oraz, <math>g_1 \frac{f_{1}}{f_{2}}cdot g_2</math> (w dziedzinie zmniejszonej o miejsca zeroweoraz <math>f_1/f_2</math>, <math>g_1/g_2</math> (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
*#* <math>g_{1}f_1 \cdot g_{2}g_1</math> oraz <math>\frac{g_{1}}{g_{2}}f_1/g_1</math> (wtam, dziedziniegdzie zmniejszonejjest o miejsca zerowe <math>g_2</math>określona) są funkcjami parzystyminieparzystymi,
*#* <math>f_{1}f_1 \cdotcirc g_{1}f_2</math> oraz, <math>f_1 \frac{f_{1}}{g_{1}}circ g_1</math> (w dziedzinie zmniejszonej o miejsca zerowe, <math>g_1 \circ f_1</math>) sąjest funkcjamifunkcją nieparzystymiparzystą,
*#* <math>f_{1}g_1 \circ f_{2}g_2</math> jest funkcją parzystą,nieparzystą.
 
*# <math>g_{1} \circ g_{2}</math> jest funkcją nieparzystą,
▲== Wykresy ==
*# <math>f_{1} \circ g_{1}</math> jest funkcją parzystą,
▲[[Wykres funkcji|Wykres]] funkcji parzystej jest symetryczny względem osi <math>OY</math>, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli <math>0</math> należy do dziedziny nieparzystej funkcji <math>f</math>, to <math>f(0) = 0</math> (wykres funkcji przechodzi przez środek układu współrzędnych).
*# <math>g_{1} \circ f_{1}</math> jest funkcją parzystą.
 
== Zobacz też ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste”