Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 1330 bajtów ,  15 lat temu
połączenie z ciąg ograniczony - tylko jedno zdanie było tylko dla ciągów
m (szablon, kat.)
(połączenie z ciąg ograniczony - tylko jedno zdanie było tylko dla ciągów)
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja ograniczona''' to [[funkcja (matematyka)|funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału skończonego]].
 
Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa się '''nieograniczoną'''. Zdefiniować ją można inaczej: jest to funkcja, której [[zbiór wartości funkcji|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym skończonym przedziale.
Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej kuli.
 
Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej [[kula|kuli]]. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.
Przykłady: funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone &ndash; wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). Funkcje ''y = x'' oraz ''y = x''<sup>2</sup> nie są ograniczone.
 
Funkcję nazwiemy '''ograniczoną z góry''' jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest '''ograniczona z dołu''' jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.
 
==Ciągi ograniczone==
Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.
 
Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną [[granica ciągu|granicę]].
 
==Przykłady==
Przykłady:* funkcje ''sin'' i ''cos'' są ograniczone &ndash; wszystkie ich wartości należą do przedziału [-2, 2] (oczywiście, również do przedziału [-1, 1]). Funkcje ''<math>y = x'', oraz ''y = x''<sup>^2</supmath> (ogólnie - wszystkie niestałe [[wielomian]]y) nie są ograniczone.
* ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>[0, 1]</math>.
* ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).
* ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.
 
Zobacz też: [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
 
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
 
Zobacz też: [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Ograniczona]]
7101

edycji