|
'''Zbieżność punktowa''' – własność [[ciąg (matematyka)|ciągu]] [[funkcja|funkcji]], tzw. [[ciąg funkcyjny|ciągu funkcyjnego]], mówiąca, iż ciąg wartości dla każdego argumentu funkcji jest [[granica ciągu|zbieżny]].
{{DisambigR|zbieżności ciągu funkcji|[[zbieżność punktowa|inne znaczenia zbieżności punktowej]]}}
{{definicja|'''Zbieżność punktowa ciągu funkcji''' to własność ciągu funkcji, która oznacza, że dla każdego argumentu odpowiedni ciąg wartości jest [[ciąg zbieżny|zbieżny]].}}
'''Zbieżność punktowa ciągu funkcji''' – własność [[ciąg (matematyka)|ciągu]] [[funkcja (matematyka)|funkcji]] pomiędzy przestrzeniami [[Przestrzeń metryczna|metrycznymi]].
== Definicja ==
Niech <math>(X, \rho_Xd_X)</math>, oraz <math>(Y, \rho_Yd_Y)</math> będą [[przestrzeń metryczna|przestrzeniami metrycznymi]], i niechzaś <math>f_{n}f_n\colon X \to Y</math> (dla <math>n \in \mathbb N.</math>). Powiemy,Wówczas że[[ciąg funkcyjny|ciąg funkcji]] <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest '''zbieżny punktowo''' do funkcji <math>f\colon X \to Y,</math> jeżeli dla każdego <math>x_0 \in X</math> istnieje [[granica ciągu|granica]] <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = f(x_0).</math> Mówi się wtedy, że <math>f</math> jest ''',granicą jeżelipunktową''' ciągu <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}.</math>
: <math>\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n \geqslant n_0} \quad \varrho_Y\left( f_n(x), f(x)\right)<\varepsilon. ▼</math>
Zapis ten można rozumieć w następujący sposób: dla każdego <math>x_0\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_{n \to \infty} f_n (x_0)</math> i jest nią <math>f(x_0)</math>.
Formalnie warunek ten można zapisać wzorem
Jeśli ciąg funkcji <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f</math>, to mówimy też, że '''<math>f</math> jest granicą punktową ciągu <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math>'''.
▲: <math>\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n \geqslant n_0} \ quad; d_Y\ varrho_Y\leftbigl( f_n(x), f(x)\ rightbigr) < \varepsilon. </math>
== Przykłady ==
[[Plik:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|300px|right|Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciągłe funkcje <math>\sin^n x</math> (zaznaczone na zielono) są zbieżne punktowo do funkcji nieciągłej (zaznaczonej na czerwono).]]
* Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).
[[Plik:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|300px|right|* Granica punktowa ciągu funkcji [[funkcja ciągła|ciągłych]] nie musi być ciągłafunkcją ciągłą. ZieloneNa (ciągłe)przykład, niech dane będą funkcje <math>f_n\colon [0,\pi]\to [0,1]</math> dane wzorem <math>f_n(x)=\sin^n( x</math> dla <math>x \in [0,\pi]</math> oraz <math>n \in \mathbb N.</math> Ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> sąjest punktowozbieżny zbieżnepunktowo do nieciągłej funkcji czerwonej<math>f\colon [0,\pi] \to [0,1]</math> opisanej wzorem
: <math>f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \in [0,\pi/2) \cup (\pi/2, \pi] \\ 1 & \text{dla } x = \pi/2 \end{cases}</math>
* Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są [[funkcja ciągła|ciągłychciągłe]] '''nie'''w żadnym punkcie musimoże być funkcjąciągła, ciągłąnp. Naniech przykład,dana rozważmybędzie funkcje[[funkcja Dirichleta|funkcja Dirichleta]] <math>f_n\colonmathbf [0,1_\pi]\tomathbb [0,1]Q</math> daneoraz przez formułęfunkcje <math>f_n(x) =\sin 2^{-n} \cdot \mathbf 1_\mathbb Q(x)</math> dla <math>x \in [0,\pi]</math> (gdzie <math>n \in \mathbb NR.</math>). CiągWówczas ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji stałej <math>f:(x) [0,\pi]= \to [0,1].</math> danej przez
: <math>f(x) = \begin{cases}
* Przypuśćmy, żeNiech <math> f:F\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jestbędzie funkcją [[ Funkcja różniczkowalnapochodna|różniczkowalną]] , ia <math> gf</math> jestbędzie jej [[ Pochodna funkcjipochodna| funkcją pochodną]] funkcji <math>f</math>. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe <math>g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math> ) takie, że ciąg <math>(g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest punktowo zbieżny punktowo do funkcji <math>g .</math> .▼0, &\ x\in [0,\pi]\setminus \{\frac{\pi}{2}\}\\
* Z [[Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa|twierdzenia Weierstrassa]] można wywnioskowaćwynika, że każda funkcja ciągła <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest granicą punktową ciągu [[wielomian]]ów. ▼1, &\ x = \frac{\pi}{2} \\
\end{cases}
</math>
* Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są [[Ciągłość funkcji w punkcie|ciągłe w żadnym punkcie]] może być ciągła. Rozważmy np [[Funkcja Dirichleta|funkcję Dirichleta]] <math>I_{\mathbb Q}</math> i połóżmy <math>f_n(x)=2^{-n}\cdot I_{\mathbb Q}(x)</math> dla <math>x \in \mathbb R</math>. Wówczas ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji stałej <math>f(x)=0</math>.
▲* Przypuśćmy, że <math>f: \mathbb R \to \mathbb R</math> jest funkcją [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalną]] i <math>g</math> jest [[Pochodna funkcji|funkcją pochodną]] funkcji <math>f</math>. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe <math>g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) takie, że ciąg <math>(g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest punktowo zbieżny do funkcji <math>g</math>.
▲* Z [[Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa|twierdzenia Weierstrassa]] można wywnioskować, że każda funkcja ciągła <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest granicą punktową ciągu [[wielomian]]ów.
== Własności ==
== Przykładowe własności ==
* Jeśli <math>f_n, g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f</math>, a ciąg <math>(g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>g</math> oraz <math>\alpha, \beta \in \mathbb R</math>, to
*: ciąg <math>(\alpha \cdot f_n + \beta \cdot g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>\alpha \cdot f + \beta \cdot g</math>,
*: ciąg <math>(f_n \cdot g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \cdot g</math>,
*: jeśli dodatkowo <math>g_n(x) \ne 0 \ne g(x)</math> dla wszystkich <math>x \in \mathbb R</math>, to ciąg <math>\left({f_n \over g_n}\right)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \over g</math>.
* Jeśli <math>f_n:\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji <math>f:\colon \mathbb R \to \mathbb R</math>, to <math>f</math> jest [[funkcja mierzalna|funkcją mierzalną]] względem [[przestrzeń mierzalna|σσ-ciała]] zbiorów [[zbiór borelowski|borelowskich]]. (Zobaczzob. więcej w sekcji o klasach[[#Klasy Baire'a poniżej|dalej]]).)
* '''Twierdzenie [[René-Louis Baire|Baire'a]]''': Jeśli <math>X,Y</math> są przestrzeniami metrycznymi, <math>f_n:\colon X \to Y</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f:\colon X \to Y</math>, to zbiór
: <math>\{x \in X\colon f</math> nie jest ciągła w punkcie <math>x\}</math>
: jest [[zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]].
* Z '''[[twierdzenie Jegorowa|twierdzenia Jegorowa]]''' wynika, że jeśli <math>f_n\colon [0,1] \to \mathbb R</math> są funkcjami mierzalnymi w sensie [[Miaramiara Lebesgue'a|miary Lebesgue'a]] i ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f:\colon [0,1] \to \mathbb R,</math>, to dla każdego dodatniego <math>\varepsilon>0</math> można wybrać zbiór <math>E \subseteq [0,1]</math> taki, że <math>\lambda(E)>1-\varepsilon</math> oraz ciąg <math>(f_n|_E)_{n \in \mathbb N}</math> jest [[zbieżność jednostajna|zbieżny jednostajnie]] do funkcji <math>f|_E</math>.
== Klasy Baire'a ==
{{seealso|zbiór borelowski}}
Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury ''porządnych'' funkcji pomiędzy [[przestrzeń polska|przestrzeniami polskimi]]. Można się umówić, że funkcje ciągłe są ''bardzo porządne'', ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej ''porządne'' itd. Tak zasugerowany kierunek badań ''porządnych'' funkcji z [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb R^n</math> w [[liczby rzeczywiste]] <math>\mathbb R</math> był zapoczątkowany przez [[FrancjaFrancuzi|francuskiego]] matematyka [[René-Louis Baire|René-Louisa Baire'a]] w [[1899]]<ref>Baire, R.: ''Sur les fonctions de variables réelles''. "Annali di Mat." (3) 3 (1899), s. 1-123.</ref>. Tematyka ta była rozwinięta przez [[Henri Lebesgue]]'a w [[1905]]<ref>Lebesgue, H.: ''Sur les fonctions représentables analytiquement''. "Journ. de Math." (6) 1 (1905), s. 139-216. </ref>. Polski matematyk, [[Stefan Banach]], uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w [[1931]]<ref>Banach, S.: ''Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen''. "[[Fundamenta Mathematicae]]" 17 (1931), s. 283-295.</ref>.
Poniżej <math>X, Y</math> są przestrzeniami polskimi, z kolei <math>\mathcal N</math> jest [[Przestrzeń Baire'a#Szczególna przestrzeń topologiczna|przestrzenią Baire'a]].
* Powiemy, że funkcjaFunkcja <math>f:\colon X \to Y</math> jest <math>\Sigma^0_\xi</math>-mierzalna (dla [[zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] [[liczba porządkowa|liczby porządkowej]] <math>\xi<\omega_1</math>) jeśli dla każdego zbioru [[zbiór otwarty|otwartego]] <math>U \subseteq Y</math> mamy, że <math>f^{-1}(U) \in \Sigma^0_\xi(X)</math>. (Definicja klas borelowskich <math>\Sigma^0_\xi</math> jest podana w artykule o [[Zbiór borelowski#Hierarchia zbiorów borelowskich w przestrzeniach polskich|zbiorach borelowskich]].)
* Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje <math>\Sigma^0_1</math>-mierzalne. NietrudnoMożna sprawdza się teżsprawdzić, że <math>f\colon X \to Y</math> jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest <math>\Sigma^0_\xi</math>-mierzalna dla pewnego <math>\xi<\omega_1</math>.
* Można udowodnić, że funkcja <math>f\colon \mathcal N \to Y</math> jest <math>\Sigma^0_2</math>-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest granicą punktową funkcji ciągłych.
* Przez [[indukcja pozaskończona|indukcję]] po liczbach porządkowych <math>\xi<\omega_1</math> określamy kiedy funkcja <math>f\colon X \to Y</math> jest '''klasy Baire'a &<math>\xi;</math>''' :
*: <math>f</math> jest klasy Baire'a 0, jeśli <math>f</math> jest ciągła,
*: <math>f</math> jest klasy Baire'a 1, jeśli <math>f</math> nie jest ciągła, ale jest <math>\Sigma^0_2</math>-mierzalna,
*: <math>f</math> jest klasy Baire'a &<math>\xi;</math>, jeśli nie jest ona żadnej klasy &<math>\zeta</math>; dla <math>\zeta<\xi</math>, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math>, gdzie każda <math>f_n</math> jest klasy Baire'a <math>\zeta_n<\xi</math>.
* Okazuje się, że jeśli <math>f\colon X \to Y</math> jest klasy Baire'a &<math>\xi;</math>, to jest ona <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna. I na odwrót, jeśli <math>f\colon X \to Y</math> jest <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna, to jest ona klasy Baire'a &<math>\zeta;</math> dla pewnego <math>\zeta \leqslant \xi</math>.
== Zobacz też ==
| 