Następnik liczby porządkowej: Różnice pomiędzy wersjami

m
Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne
(→‎Własności: drobne merytoryczne)
m (Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne)
'''Następnik liczby porządkowej''' – podstawowa operacja przeprowadzana na [[liczby porządkowe|liczbach porządkowych]]. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja [[aksjomat nieskończoności|zbiorów induktywnych]], np. [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] w konstrukcji [[John von Neumann|von Neumanna]].
 
== Definicja ==
'''Następnikiem''' liczby porządkowej <math>\alpha</math> nazywamy liczbę porządkową <math>\alpha \cup \{\alpha\}</math> oznaczaną symbolem <math>\operatorname{S}(\alpha)</math> lub <math>\alpha+1</math>. Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej nazywamy liczbą porządkową '''następnikową'''.
 
=== Uwaga ===
Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności nazywamy '''[[graniczna liczba porządkowa|granicznymi liczbami porządkowymi]]''' (nie mylić z [[Liczba nieosiągalna|granicznymi liczbami kardynalnymi]]). Przykładami porządkowych liczb granicznych są:
:<math>0, \omega, \omega+\omega, \ldots, \omega\cdot n, \ldots, \omega^2, \ldots, \omega^m, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \varepsilon_0= \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}, \ldots</math>.
gdzie ''n'' i ''m'' są dowolnymi liczbami naturalnymi.
 
== Własności ==
* Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy <math>\alpha</math> i <math>\operatorname{S}(\alpha)</math>,
* Jeśli <math>\alpha \in \operatorname{S}(\alpha)</math>, to <math>\alpha \subset \operatorname{S}(\alpha)</math> (zob. [[zbiór tranzytywny]]).
 
== Przykłady ==
* <math>\operatorname{S}(\varnothing) = \{\varnothing\}</math> (tu: <math>\varnothing=0</math>)
* <math>\operatorname{S}\left(\{\varnothing\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}</math>,
* <math>\operatorname{S}\left(\left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}, \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right\}</math>.
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
* [[aksjomaty i konstrukcje liczb]]
* [[arytmetyka liczb porządkowych]]
3 007 171

edycji