Wersja z 12:15, 19 kwi 2010 edytuj Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji m →‎Definicja ← poprzednia edycja		Wersja z 22:28, 20 kwi 2010 edytuj anuluj edycję Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji drobne redakcyjne następna edycja →
Linia 20: == Przykłady == {{seealso\|topologia ~~produktowa~~początkowa}} Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni [[liczby rzeczywiste\|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R</math> (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą [[przestrzeń euklidesowa\|topologię euklidesową]] na <math>\mathbb R^n.</math> Linia 26: == Własności == Przestrzeń produktowa <math>X,</math> wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej [[własność uniwersalna\|własności uniwersalnej]]: jeżeli <math>Y</math> jest przestrzenią topologiczną i dla każdego <math>i \in I</math> funkcja <math>f_i\colon Y \to X_i</math> jest przekształceniem ciągłym, to istnieje ''dokładnie jedno'' przekształcenie ciągłe <math>f\colon Y \to X</math> takie, że dla każdego <math>i \in I</math> następujący diagram jest [[diagram przemienny\|przemienny]]:[[Plik:CategoricalProduct-02.png\|center\|Własność charakterystyczna przestrzeni produktowych]] Niech <math>\bigl\{(X_i, \tau_i)\bigr\}_{i \in I}</math> będzie rodziną przestrzeni topologicznych, <math>X=\prod\limits_{i\in I} X_i</math> i niech <math>\tau</math> będzie topologią produktową na <math>X</math>. Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest [[produkt (teoria kategorii)\|produktem]] w [[kategoria przestrzeni topologicznych\|kategorii przestrzeni topologicznych]]. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie <math>f\colon Y \to X</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f_i = p_i \circ f</math> jest ciągłe dla każdego <math>i \in I.</math> W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych <math>f_i</math> bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia <math>g\colon X \to Z;</math> w pewien sposób wykorzystuje się tam fakt ciągłości <math>p_i.</math> * Topologia <math>\tau</math> jest najsłabszą topologią na <math>X</math> taką że każda projekcja <math>\pi_i:X\longrightarrow X_i:f\mapsto f(i)</math> (dla <math>i\in I</math>) jest [[Funkcja ciągła\|ciągła]]. * Wspomniane powyżej projekcje <math>\pi_i</math> są również [[Odwzorowanie otwarte\|odwzorowaniami otwartymi]]. * Jeśli <math>{\mathcal B}_i</math> jest bazą topologii na <math>X_i</math> (dla <math>i\in I</math>) to ~~<center>~~ ~~<math>{\mathcal B}^=\big\{V(i_1,\ldots,i_n,U_1,\ldots,U_n):n\in {\mathbb N}\ \wedge\ i_1,\ldots,i_n\in I\ \wedge\ U_1\in {\mathcal B}_{i_1},\ldots, U_n\in{\mathcal B}_{i_n}\big\}</math></center>~~ ~~jest bazą topologii <math>\tau</math>.~~ Jeśli każda z przestrzeni <math>X_i</math> spełnia [[aksjomaty oddzielania\|aksjomat oddzielania]] <math>T_j</math> dla <math>j\leqslant 3\tfrac{1}{2}</math>, to przestrzeń produktowa <math>X</math> spełnia ten sam warunek. * Jeśli zbiór indeksów <math>I</math> jest [[Zbiór przeliczalny\|przeliczalny]] i każda przestrzeń <math>X_i</math> spełnia pierwszy [[Aksjomaty przeliczalności\|aksjomat przeliczalności]], to przestrzeń produktowa <math>X</math> spełnia ten sam aksjomat. Analogiczne stwierdzenie zachodzi też dla drugiego aksjomatu przeliczalności. * Jeśli <math>\|I\|\leqslant 2^{\aleph_0}</math> i każda z przestrzeni <math>X_i</math> jest [[Przestrzeń ośrodkowa\|ośrodkowa]], to przestrzeń produktowa też jest ośrodkowa. * Zachodzi następujące '''twierdzenie Tichonowa''' (1930): ~~:: ''Jeśli <math>X_i</math> (dla <math>i\in I</math>) są [[przestrzeń zwarta\|przestrzeniami zwartymi]], to przestrzeń produktowa <math>\prod\limits_{i\in I} X_i</math> jest zwarta.''~~ Ponadto, że <math>p_i\colon X \to X_i</math> są ciągłe, to są one [[odwzorowania otwarte i domknięte\|odwzorowaniami otwartymi]], co oznacza, że rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na <math>X_i</math> pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli <math>W</math> jest [[podprzestrzeń (topologia)\|podprzestrzenią]] przestrzeni produktowej taką, że wszystkie rzuty na <math>X_i</math> są otwarte, to <math>W</math> nie musi być otwarta w <math>X</math> (można rozważyć np. <math>W = \mathbb R^2 \setminus (0, 1)^2</math>). Rzuty kanoniczne w ogólności nie są [[odwzorowania otwarte i domknięte\|przekształceniami domkniętymi]] (tutaj można rozważyć zbiór domknięty <math>\{(x,y) \in \mathbb R^2\colon xy = 1\},</math> którego rzutami na obie osie są <math>\mathbb R \setminus \{0\}.</math> Sformułowane w pełnej ogólności twierdzenie to jest równoważne z [[Aksjomat wyboru\|aksjomatem wyboru]], a ograniczone do [[Przestrzeń Hausdorffa\|przestrzeni Hausdorffa]] jest równoważne ze stwierdzeniem, że każdy [[ideał (teoria pierścieni)\|ideał]] na [[Algebra Boole'a\|algebrze Boole'a]] może być rozszerzony do [[ideał pierwszy\|ideału pierwszego]]. (Równoważność odpowiednich stwierdzeń zachodzi na gruncie [[Aksjomaty Zermelo-Fraenkela\|ZF]].)▼ Topologia produktowa jest także nazywana ''topologią [[granica funkcji\|zbieżności punktowej]]'', co tłumaczy następujący fakt: [[ciąg (matematyka)\|ciąg]] (także [[ciąg uogólniony\|uogólniony]]) w <math>X</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na <math>X_i.</math> W szczególności jeśli <math>X = \mathbb R^I</math> wszystkich funkcji o wartościach [[liczby rzeczywiste\|rzeczywistych]] określonych na <math>I,</math> to zbieżność w topologii produktowej jest tym samym, co zbieżność punktowa funkcji. Produkt domkniętych podzbiorów <math>X_i</math> jest zbiorem domkniętym w <math>X.</math> Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest [[twierdzenie Tichonowa]]: dowolny produkt [[przestrzeń zwarta\|przestrzeni zwartych]] jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie jest zaś równoważne [[aksjomat wyboru\|aksjomatowi wyboru]], które można wyrazić stwierdzeniem, iż produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. Aksjomat wyboru spotyka się w większej ogólności w przestrzeniach produktowych; twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru. ▲~~Sformułowane w pełnej ogólności twierdzenie~~Twierdzenie to ~~jest równoważne z [[Aksjomat wyboru\|aksjomatem wyboru]], a~~ ograniczone do [[~~Przestrzeń~~przestrzeń Hausdorffa\|przestrzeni Hausdorffa]] jest równoważne ze stwierdzeniem, że każdy [[ideał (teoria pierścieni)\|ideał]] na [[~~Algebra~~algebra Boole'a\|algebrze Boole'a]] może być rozszerzony do [[ideał pierwszy\|ideału pierwszego]]. ~~(Równoważność~~W obu ~~odpowiednich~~przypadkach ~~stwierdzeń~~równoważności ~~zachodzi~~zachodzą na gruncie [[~~Aksjomaty~~aksjomaty Zermelo-Fraenkela\|ZF]].) == Związki topologiczne == ; Oddzielanie * Produkt [[przestrzeń T0\|przestrzeni T<sub>0</sub>]] jest T<sub>0</sub>. * Produkt [[przestrzeń T1\|przestrzeni T<sub>1</sub>]] jest T<sub>1</sub>. * Produkt [[przestrzeń Hausdorffa\|przestrzeni Hausdorffa]] jest Hausdorffa<ref>{{odsyłacz planetmath\|id=4317\|tytuł=Topologia iloczynowa zachowuje własność Hausdorffa}}</ref>. * Produkt [[przestrzeń regularna\|przestrzeni regularnych]] jest regularny. * Produkt [[przestrzeń Tichonowa\|przestrzeni Tichonowa]] jest Tichonowa. * Produkt [[przestrzeń normalna\|przestrzeni normalnych]] ''nie musi'' być normalny. ; Przeliczalność * [[Zbiór przeliczalny\|Przeliczalny]] Produkt przestrzeni spełniających pierwszy bądź drugi [[aksjomaty przeliczalności\|aksjomat przeliczalności]] spełnia ten sam aksjomat. ; Zwartość * Produkt przestrzeni zwartych jest zwarty ([[twierdzenie Tichonowa]]). * Produkt [[przestrzeń lokalnie zwarta\|przestrzeni lokalnie zwartych]] ''nie musi'' być lokalnie zwarty. Jednakże dowolny produkt przestrzeni lokalnie zwartych, wśród których wszystkie poza skończenie wieloma są zwarte, ''jest'' lokalnie zwarty (warunek ten jest zarazem wystarczający jak i niezbędny). ; Spójność * Produkt [[przestrzeń spójna\|przestrzeni spójnych]] (odp. drogowo spójnych) jest spójny (odp. drogowo spójny). * Produkt przestrzeni dziedzicznie niespójnych jest dziedzicznie niespójny. ; Ośrodkowość * Produkt co najwyżej <math>2^{\aleph_0}</math> przestrzeni [[przestrzeń ośrodkowa\|ośrodkowych]] jest ośrodkowy. Przekształcenie, które „lokalnie wygląda jak” rzut kanoniczny <math>F \times U \to U</math> nazywa się [[wiązka włóknista\|wiązką włóknistą]]. == Uogólnienia == Linia 50 ⟶ 69: == Zobacz też == * [[~~rozłączna~~ suma rozłączna (topologia)\|~~rozłączna~~ suma rozłączna]] * [[topologia początkowa]] * [[przestrzeń ilorazowa]] Linia 57 ⟶ 76: == Bibliografia == * Stephen Willard, ''General Topology'', (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. {{Przypisy}} [[Kategoria:Topologia]]

Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami