Operator Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne |
wyprowadzenie lapalasjanu we współrzędnych sferycznych |
||
Linia 45:
\right)
</math>
'''Wyprowadzenie'''<br>
Współrzędne sferyczne <math>(r,\theta,\phi)</math> są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:
<math>
\left \{
\begin{matrix}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta
\end{matrix}
\right .
</math>
Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:
<math>g_{ij} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^{2} & 0 \\
0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta
\end{bmatrix}</math>
Zatem współczynniki Lamego są następujące:
<math>\left \{
\begin{matrix}
h_1 = 1 \\
h_2 = r \\
h_3 = r \sin \theta
\end{matrix}
\right .
</math>
Wstawiając teraz otrzymane współczynniki do wzoru na laplasjan w dowolnym, n-wymiarowym, krzywoliniowym układzie współrzędnych dla n = 3, oraz różniczkując otrzymujemy szukany wzór:
:<math>
\triangle=\frac{1}{r^2 \sin \theta}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2 \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}
+\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+\frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}
\right)
=
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\right)
</math>
Dla funkcji wektorowej <math>\bar{F}</math> działanie operatora Laplace'a w układzie kartezjańskim wyraża się przez zdefiniowany wyżej operator Laplace'a skalarnych współrzędnych tej funkcji wektorowej:
| |||