Wersja z 00:58, 6 sie 2010 edytuj Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji m dr. ← poprzednia edycja		Wersja z 01:26, 6 sie 2010 edytuj anuluj edycję Konradek (dyskusja \| edycje) 12 936 edycji m poprawki (idą dalsze) następna edycja →
Linia 8: Niech <math>\mathcal A</math> będzie [[rodzina zbiorów\|rodziną zbiorów]] oraz niech <math>f\colon \mathcal A \to [-\infty, \infty].</math> O funkcji <math>f</math> mówi się, że jest * '''addytywna''', jeśli : <math>f(A \cup B) = f(A) + f(B)</math> dla wszystkich ~~tych~~[[zbiory rozłączne\|rozłącznych]] <math>A, B \in \mathcal A</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math> * '''podaddytywna''' lub '''subaddytywna''', jeśli : <math>f(A \cup B) \leqslant f(A) + f(B)</math> dla wszystkich tych <math>A, B \in \mathcal A</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math> * '''skończenie addytywna''' jeśli : <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^n~A_k\right) = \sum_{k = 0}^n~f(A_k)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne\|parami rozłącznych zbiorów]] <math>A_0, A_1, \dots, A_n \in \mathcal A,</math> dla których <math>A_0 \cup A_1 \cup \dots \cup A_n \in \mathcal A.</math> * '''skończenie podaddytywna''' lub '''skończenie subaddytywna''', jeśli : <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^n~A_k\right) \leqslant \sum_{k = 0}^n~f(A_k)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A_0, A_1, \dots, A_n \in \mathcal A,</math> dla których <math>A_0 \cup A_1 \cup \dots \cup A_n \in \mathcal A.</math> * '''przeliczalnie addytywna''' lub '''σ-addytywna''' jeśli : <math>f\left(\bigcup_{nk = 0}^\infty~~~A_n~~A_k\right) = \sum_{nk = 0}^\infty~f(~~A_n~~A_k)</math> dla wszystkich ~~[[zbiory rozłączne\|~~parami rozłącznych zbiorów]] <math>A_0, A_1, A_2, \dots \in \mathcal A,</math> dla których <math>\bigcup_{nk = 0}^\infty~~~A_n~~A_k \in \mathcal A.</math> * '''przeliczalnie podaddytywna''', '''przeliczalnie subaddytywna''', '''σ-podaddytywna''' lub '''σ-subaddytywna''', jeśli : <math>f\left(\bigcup_{nk = 0}^\infty~~~A_n~~A_k\right) \leqslant \sum_{nk = 0}^\infty~f(~~A_n~~A_k)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A_0, A_1, A_2, \dots \in \mathcal A,</math> dla których <math>\bigcup_{nk = 0}^\infty~~~A_n~~A_k \in \mathcal A.</math> Dla odróżnienia od ich „przeliczalnych” wariantów addytywne lub podaddytywne funkcje zbiorów nazywa się czasem „skończenie (pod/sub)addytywnymi”. Ma to swoje uzasadnienie w tym, iż z zasady [[indukcja matematyczna\|indukcji matematycznej]] funkcje addytywne i podaddytywne zbiorów obejmują przypadki skończonych sum zbiorów. Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna\|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie\|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), które spełniają warunki analogiczne do powyższych. Jeśli <math>\varnothing \in \mathcal A,</math> to zwykle przyjmuje się, iż <math>f(\varnothing) = 0,</math> co nazywa się żargonowo ''znikaniem na zbiorze pustym'', wówczas przeliczalne warianty (sub)addytywności pociągają za sobą skończone, a te z kolei zwykłe. == Przykłady ==

Funkcja addytywna zbioru: Różnice pomiędzy wersjami