Funkcja addytywna zbioru: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m poprawki (idą dalsze) |
uzupełnienia |
||
Linia 3:
'''Funkcja addytywna zbioru''' – [[funkcja]] określona na pewnym [[ciało zbiorów|ciele]] lub [[pierścień zbiorów|pierścieniu zbiorów]] o wartościach w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych]], której wartość dla [[suma zbiorów|sumy]] dwóch [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] jest [[dodawanie|sumą]] wartości dla każdego z tych zbiorów. Z pojęciem addytywności blisko związane są pojęcia ''podaddytywności'', ''σ-addytywności'' oraz ''σ-podaddytywności'' (funkcje dwóch ostatnich rodzajów definiuje się zwykle na [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałach]] lub [[σ-pierścień|σ-pierścieniach zbiorów]]).
Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych [[przestrzeń unormowana|przestrzeniach unormowanych]] nazywa się czasem [[miara wektorowa|miarami wektorowymi]].▼
== Definicje ==
Niech <math>\mathcal A</math> będzie [[rodzina zbiorów|rodziną zbiorów]] oraz niech <math>f\colon \mathcal A \to [
* '''addytywna''', jeśli
: <math>f(A \cup B) = f(A) + f(B)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|rozłącznych]] <math>A, B \in \mathcal A</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math>
Linia 20:
: <math>f\left(\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k\right) \leqslant \sum_{k = 0}^\infty~f(A_k)</math> dla wszystkich zbiorów <math>A_0, A_1, A_2, \dots \in \mathcal A,</math> dla których <math>\bigcup_{k = 0}^\infty~A_k \in \mathcal A.</math>
Powyższe funkcje mają częstokroć swoje dodatkowe nazwy wynikłe z ich zastosowań:
Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), które spełniają warunki analogiczne do powyższych.▼
* funkcje skończenie addytywne: miary skończenie addytywne,
* funkcje przeliczalnie addytywne: ''miara (matematyka)|miary]] (przeliczalnie addytywne).
▲Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w rzeczywistych bądź zespolonych [[przestrzeń unormowana|przestrzeniach unormowanych]] nazywa się czasem ''[[miara wektorowa|miarami wektorowymi]]''.
▲Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych.
== Własności ==
W przypadku, gdy <math>\mathcal A</math> jest (co najmniej) [[pierścień zbiorów|pierścieniem zbiorów]], wymaganie należenia sumy danych zbiorów do rodziny w definicji funkcji skończenie (pod)addytywnych można pominąć, podobnie ma się rzecz, gdy <math>\mathcal A</math> jest [[σ-pierścień|σ-pierścieniem zbiorów]] i funkcji przeliczalnie (pod)addytywnych. Ponadto definicje (pod)addytywności i skończonej (pod)addytywności pokrywają się wtedy na mocy zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] (nie jest tak w ogólności, tzn. dla [[półpierścień zbiorów|półpierścieni zbiorów]]).
Jeśli powyższe funkcje przyjmują wartości w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym afinicznie zbiorze liczb rzeczywistych]], to zakłada się, że wszystkie sumy (szeregi) po prawych stronach definicji mają być dobrze określone, tzn. nie występują tam jednocześnie wyrazy postaci <math>f(-\infty)</math> oraz <math>f(+\infty).</math>
Jeśli <math>\varnothing \in \mathcal A,</math> to zwykle przyjmuje się, iż <math>f(\varnothing) = 0,</math> co nazywa się żargonowo ''znikaniem na zbiorze pustym'', wówczas przeliczalne warianty (sub)addytywności pociągają za sobą skończone. Jeżeli funkcja addytywna przyjmuje wartości rzeczywiste (skończone), zespolone bądź wektorowe, to znikanie na zbiorze pustym wynika w istocie z jej addytywności. W przypadku funkcji o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych jest to równoważne warunkowi, by <math>f(\varnothing) \ne \pm\infty,</math> bądź by <math>f</math> nie była tożsamościowo równa <math>\pm\infty.</math>
== Przykłady ==
Linia 32 ⟶ 43:
== Rozszerzanie ==
{{main|twierdzenie Hahna-Kołmogorowa}}
Okazuje się, że premiary (przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów znikające na zbiorze pustym) można rozszerzyć w dość naturalny sposób do [[miara zewnętrzna|miar zewnętrznych]], które są zdefiniowane dla [[zbiór potęgowy|wszystkich podzbiorów]] przestrzeni <math>X.</math> Dokładniej, jeżeli <math>\mu_0</math> jest
▲Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych]], które przyjmują zero dla [[zbiór pusty|zbioru pustego]], nazywa się ''miarami skończenie addytywnymi''. W nomenklaturze anglojęzycznej funkcje powyższego rodzaju, które są przeliczalnie addytywne, nazywa się „premiarami” (ang. ''premeasure''), gdyż w pewnym sensie są one zaczątkiem „pełnoprawnych” [[miara (matematyka)|miar]] na danej przestrzeni. Są one szczególnie użyteczne w [[geometria fraktalna|geometrii fraktalnej]] i [[teoria wymiaru|teorii wymiaru]], gdzie za ich pomocą definiuje się takie miary jak [[miara Hausdorffa]], czy [[miara pakująca]] na [[podzbiór|podzbiorach]] [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznych]].
▲Okazuje się, że przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów znikające na zbiorze pustym można rozszerzyć w dość naturalny sposób do [[miara zewnętrzna|miar zewnętrznych]], które są zdefiniowane dla [[zbiór potęgowy|wszystkich podzbiorów]] przestrzeni <math>X.</math> Dokładniej, jeżeli <math>\mu_0</math> jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, która znika na zbiorze pustym, określoną na pierścieniu podzbiorów przestrzeni <math>X,</math> to funkcja zbiorów <math>\mu^*</math> określona wzorem
: <math>\mu^*(S) = \inf\left\{\sum_{i = 1}^\infty \mu_0(S_i)\colon S_i \in X, S \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty S_i \right\}</math>
jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] na <math>X</math> (zob. [[miara zewnętrzna#Konstrukcje|metoda I konstrukcji miary zewnętrznej]]).
| |||