Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 107 bajtów ,  12 lat temu
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
<math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>.
 
== Wartość oczekiwana rozkładu normalnego <math>N(\mu,\sigma^2)</math> ==
{{integruj do|rozkład normalny}}
{{Ukryj
 
|1 =
Zgodnie z definicją, wartość oczekiwaną rozkładu normalnego można wyznaczyć obliczając wartość całki
:: <math>E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \int_{-\infty}^{+\infty}x e^{-\big(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\big)^2}dx</math>
w celu uproszczenia można wprowadzić nową zmienną ''y''
: <math>y=\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \Rightarrow x = y\sqrt{2}\sigma + \mu</math> (a więc granice całkowania nie zmieniają się)<br /><br /><br /><br />
: <math> dy = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx \Rightarrow dx = \sqrt{2}\sigma dy</math><br /><br /><br /><br />
przy czym granice całkowania pozostają bez zmian. Zatem
 
:: <math>E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}} \int_{-\infty}^{+\infty}x e^{-\big (\frac{x-\mu}{y\sqrt{2}\sigma} + \bigmu)e^{-y^2}dx=^ \sqrt{*2}</math><br\sigma /><brdy /><br= /><br />
 
: <math>y=\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \Rightarrow x = y\sqrt{2}\sigma + \mu</math> (a więc granice całkowania nie zmieniają się)<br /><br /><br /><br />
: <math> dy = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}dx \Rightarrow dx = \sqrt{2}\sigma dy</math><br /><br /><br /><br />
 
<math>=^{*}\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + \mu)e^{-y^2} \sqrt{2}\sigma dy =
\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (y\sqrt{2}\sigma + \mu)e^{-y^2}dy=
</math><br /><br /><br /><br />
:: <math>=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \sqrt{2}\sigma \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy + \mu\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy \Bigg)=
\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \Bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy \Bigg)_{{=0}}^{(1)} + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}} \Bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy\Bigg)_{{=\sqrt{\pi}}}^{(2)}=
</math><br /><br /><br /><br />
:: <math>=\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = \mu</math>
cbdo. Przy wyprowadzeniu skorzystano z:
: <math>(1) = \int_{-\infty}^{+\infty} ye^{-y^2}dy = \frac{1}{2}\int_{+\infty}^{+\infty} e^{-z}dz = 0</math>
: <math> z = y^2</math> (granice całkowania się zmieniają)<br /><br /><br /><br />
: <math> dz = 2ydy \Rightarrow dy = \frac{dz}{2y}</math><br /><br /><br /><br />
 
: <math>(2) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy </math> - [[całka Poissona]]