Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 301 bajtów ,  12 lat temu
drobne redakcyjne
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
(drobne techniczne)
(drobne redakcyjne)
'''Wartość oczekiwana''', '''średnia''' lub '''przeciętna''' (dawniej ''nadzieja matematyczna'') – w [[teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] wartość wskazująca spodziewany wynik doświadczenia losowego; należy mieć na uwadze, że wartość ta nie musi oznaczać żadnego z elementów [[przestrzeń zdarzeń elementarnych|przestrzeni próbek]]. Innymi słowy jest to pierwszy [[moment zwykły]]. [[Estymator]]em wartości oczekiwanej [[rozkład cechy|rozkładu cechy]] w populacji jest [[średnia arytmetyczna]]. Wartość oczekiwana nazywana jest też '''wartością średnią''' lub '''wartością przeciętną''', dawniej używano także nazwy „nadzieja matematyczna” (od fr. ''espérance mathématique''), stąd też pochodzi częste jej oznaczenie w postaci różnego rodzaju stylizacji [[E|litery „E”]].
 
== Definicja ==
 
=== Zmienna ciągła ===
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to '''wartość oczekiwaną''' zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka Lebesgue'a|całkę Lebesgue'a]]
: <math>\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math>
o ile powyższa<math>X</math> całkajest istnieje[[funkcja całkowalna|sumowalna]], tzn. jeżeli:
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math>.
 
* <math>\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|</math>.
 
== Mechanika kwantowa ==
== Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej ==
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Wartość oczekiwana [[Obserwablaobserwabla|obserwabli]], której odpowiada [[operator hermitowski]] <math>\hat{A}</math> dla [[stan kwantowy|stanu kwantowego]] układu opisywanego [[funkcja falowa|funkcją falową]] <math>\psi</math> wynosi <math>\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau </math> gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau </math>,
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
 
W [[notacja Diraca|notacji Diraca]] wzór ten możnaprzybiera zapisać jakopostać:
: <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math>.
 
[[Zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>.
: <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>.
 
== Zobacz też ==
Anonimowy użytkownik