Wnętrze (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 28 bajtów ,  11 lat temu
m
drobne redakcyjne, WP:SK
m (robot dodaje: ja:内部 (位相空間論))
m (drobne redakcyjne, WP:SK)
[[GrafikaPlik:Otoczenia.svg|cente|thumb|300px|Punkt ''W'' jest punktem wewnętrznym figury.]]
'''Wnętrze''' [[zbiór|zbioru]] (figury, bryły) ''F'' – pojęcie w [[geometria|geometrii]] lub [[Topologia|topologii]], zbiór tych [[Punkt (geometria)|punktpunktów]]ów przestrzeni, które należą do zbioru ''F'' wraz z pewnym swoim [[otoczenie punktu|otoczeniem]].
 
Wnętrze zbioru ''F'' oznaczamy Int(''F''), int(''F'') lub ''F''°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy '''punktami wewnętrznymi''' zbioru.
 
== Własności ==
 
 
==Własności==
Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.
# Wnętrze jest [[zbiór otwarty|otwartym podzbiorem]] ''F''.
# Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorow ''F''.
# Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w ''F''.
# Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
# int(int(''S'')) = int(''S'').
# Jeżeli ''S'' jest podzbiorem ''F'', to int(''S'') jest podzbiorem int(''F'').
# int(''S''∩''F'')=int(''S'')∩int(''F'')
# Jeżeli ''S'' jest zbiorem otwartym, to ''S'' jest podzbiorem ''F'' wtedy i tylko wtedy, gdy ''S'' jest podzbiorem int(''F'').
 
Wnętrze zbioru zależy od [[Przestrzeń topologiczna|topologii]] – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.
Zauważmy też, że w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] punkt ''p'' zbioru ''F'' jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje [[kula]] o środku w punkcie ''p'' całkowicie zawarta w zbiorze ''F''.
 
=== Pozostałe własności ===
# <math> \operatorname{Int}\; A \cup \operatorname{Int}\; B \subset \operatorname{Int}\; (A \cup B)</math> dla dowolnych zbiorów <math>A \subset X,\ B \subset X</math>
# <math> \bigcup_{s \in S} \operatorname{Int}\; A_s \subset \operatorname{Int}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)</math> dla dowolnej rodziny zbiorów <math>\{A_s \subset X: s \in S\}</math>
# Dla każdego <math>A \subset X</math> mamy <br /> <math>\operatorname{Int}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)</math>
 
== Operacja wnętrza a topologia ==
Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(''X'')=''X'', gdzie ''X'' oznacza całą [[przestrzeń]], to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Określenie operacji wnętrza|topologii przez operację wnętrza]] w zbiorze ''X''. <ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Engelking |imię=Ryszard| autor link=Ryszard Engelking |tytuł=Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa |rok=1975| strony=37}}</ref>.
 
== Przykłady ==
==Operacja wnętrza a topologia==
* W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(''X'')=''X'', gdzie ''X'' oznacza całą [[przestrzeń]], to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Określenie operacji wnętrza|topologii przez operację wnętrza]] w zbiorze ''X''. <ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Engelking |imię=Ryszard| autor link=Ryszard Engelking |tytuł=Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47 |wydawca=Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce=Warszawa |rok=1975| strony=37}}</ref>
* W [[przestrzeń topologiczna dyskretna|przestrzeni dyskretnej]] każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
* Niech ''R'' oznacza zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią. Wówczas:
** wnętrzem [[przedział (matematyka)|przedziału domkniętego]] [''a'', ''b''] jest przedział otwarty (''a'', ''b'')
** wnętrzem przedziału [''a'', ''b'') jest przedział (''a'', ''b'')
** wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
** wnętrzem zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest zbiór pusty
** wnętrzem zbioru [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] także jest zbiór pusty
** zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.
 
==Przykłady==
*W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
*W [[przestrzeń topologiczna dyskretna|przestrzeni dyskretnej]] każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
*Niech ''R'' oznacza zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią. Wówczas:
**wnętrzem [[przedział (matematyka)|przedziału domkniętego]] [''a'', ''b''] jest przedział otwarty (''a'', ''b'')
**wnętrzem przedziału [''a'', ''b'') jest przedział (''a'', ''b'')
**wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
**wnętrzem zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest zbiór pusty
**wnętrzem zbioru [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] także jest zbiór pusty
**zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.
 
== Zobacz też ==
Zobacz też:* [[Zewnętrze (topologia)|zewnętrze]], [[brzeg (topologia)|brzeg]].
* [[brzeg (topologia)|brzeg]]
 
{{Przypisy}}