Zasada dobrego uporządkowania: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
dopracować |
||
Linia 1:
'''Zasada dobrego uporządkowania''' – zasada [[matematyka|matematyczna]] mówiąca, że każdy [[zbiór pusty|niepusty]] [[zbiór]] [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] dodatnich zawiera element najmniejszy.<ref>{{cytuj książkę | tytuł =Introduction to Analytic Number Theory | nazwisko = Apostol | imię = Tom | autor link = Tom M. Apostol | rok = 1976 | wydawca = Springer-Verlag | miejsce = Nowy Jork | isbn = 0-387-90163-9 | strony = 13}}</ref>
{{dopracować|jakie jest minimum <math>\mathbb{Z}</math> według autora?}}
Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” traktowana jest czasami jako [[synonim]] wyrażenia „[[twierdzenie Zermelo|twierdzenie o dobrym uporządkowaniu]]”. Niekiedy rozumie się przez nie stwierdzenie, iż zbiór liczb całkowitych
W zależności od sposobu wprowadzenia liczb naturalnych wspomniana własność (drugiego rzędu) liczb naturalnych jest albo [[aksjomat]]em albo twierdzeniem, którego można dowieść. Przykładowo:
Linia 10 ⟶ 11:
Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru <math>S</math> załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność. Ten rodzaj argumentacji ma ten sam związek z dowodem przez [[indukcja matematyczna|indukcję matematyczną]], co „jeśli nie B, to nie A” (reguła ''[[modus tollens]]'') w stosunku do „jeśli A, to B” (reguła ''[[modus ponens]]''). Metoda ta jest podobna do metody „[[nieskończone schodzenie|nieskończonego schodzenia]]” [[Pierre de Fermat|Fermata]].
[[Garrett Birkhoff]] i [[Saunders Mac Lane]] stwierdzili w ''A Survey of Modern Algebra'', że własność ta, podobnie jak [[aksjomat ciągłości]] liczb rzeczywistych, jest niealgebraiczna, tzn. nie może być wyprowadzony z własności algebraicznych liczb całkowitych (które stanowią uporządkowaną [[dziedzina całkowitości|dziedzinę całkowitości]]).
{{dopracować|popatrzyli i stwierdzili?}} Stąd wyróżnia ona liczby całkowite spośród pozostałych dziedzin całkowitości; każda dobrze uporządkowana dziedzina całkowitości jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z liczbami całkowitymi. {{przypisy}}
| |||