Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami

WP:SK, drobne techniczne
(WP:SK, drobne techniczne)
 
== Założenia ==
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
::::: <math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\, </math>
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a ''θ'' i ''φ'' kątowymi (odpowiednio, [[Sferyczny układ współrzędnych|zenitalną i azymutalną]]).
Zakładamy także, że materia jest [[lepkość|nielepka]], nie [[przewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[płyn doskonały|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie ''p'' jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ''ρ''), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ''ν(r)'':
::::: <math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{1}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math>
funkcją ''λ(r)'':
::::: <math>e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},</math>
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu ''r'' a promieniem tej sfery, ''M(0)=0'':
::::: <math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.</math>
Przy tych założeniach [[równania Einsteina]] redukują się do
::::: <math>
\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1},
</math>
[[Plik:TOV_solution_neutron_quark_star_mass_radius_diagramTOV solution neutron quark star mass radius diagram.png‎png|rightthumb|450px|thumb|Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon<ref>F. Douchin, P. Haensel, ''A unified equation of state of dense matter and neutron star structure'', Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)</ref>. Linia niebieska: "naga" (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka" MIT o stałej sprzężenia α=0.17, stałej worka B=60 MeV/fm<sup>3</sup>, masie kwarku dziwnego m<sub>s</sub>=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).]]
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
 
=== Warunki brzegowe ===
Jeśli równanie opisuje [[gwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ''p(R)&nbsp;=&nbsp;0'' (warunek ten wyznacza współrzędną ''r&nbsp;=&nbsp;R'', czyli promień gwiazdy),
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]:
 
dla ''r≥R'' funkcja metryczna ''e<sup>ν(r)</sup>&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;2GM/rc<sup>2</sup>'', gdzie ''M'' jest całkowitą grawitacyjną masą [[gwiazda neutronowa|gwiazdy]] mierzoną przez odległego obserwatora.
=== Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej ===
Pamiętając o tym, że element objętości ''dV'' pomiędzy sferami o promieniach ''r'' oraz ''r&nbsp;+&nbsp;dr'' jest równy
::::: <math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math>
wyrażenie opisujące całkowitą masę grawitacyjną ''M'' [[gwiazda neutronowa|gwiazdy]] przyjmuje następującą postać:
::::: <math>M=M(R)=\int_0^{R} \frac{4\pi\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.</math>
Liczba barionów w gwieździe
::::: <math>A_b=\int_0^{R} \frac{4\pi n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math>
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek.
[[Plik:TOV_solution_homogeneous_star_mass_radius_diagramTOV solution homogeneous star mass radius diagram.png‎‎png|rightthumb|450px|thumb|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup> (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]]
Masa barionowa (zwana również [[masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy mnożonej przez masę [[Barion|barionubarion]] u
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'':
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math>
Różnica pomiedzy tymi masami jest analogiem [[Energia wiązania|energii wiązania]], znanej z fizyki jądrowej:
::::: <math>E_b=M_b-M\,.</math>
Dla typowego równania stanu, [[gwiazda neutronowa]] o masie M=1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest związana energią ''E<sub>b</sub>≈0,1M''.
 
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej ===
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ&nbsp;=&nbsp;''const.'' Mamy wtedy:
::::: <math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math>
Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
::::: <math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\, </math>
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ''p<sub>c</sub> = p(r=0)''. Warunek ''p<sub>c</sub> ='' ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
::::: <math>\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .</math>
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli [[Granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa|granicę TOV]].
 
== Historia ==
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym [[Physical Review|"Physical Review"]] przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. Volkoffa]] w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"<ref>J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, ''On Massive Neutron Cores'', Phys. Rev. 55, 374 (1939)</ref>, jednak fundamentalne znaczenie mają prace [[Richard Chace Tolman|Richarda C. Tolmana]] z roku 1934, pt.
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
 
== {{Przypisy ==}}
<references/>
 
[[Kategoria:Astrofizyka]]