Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 2763 bajty ,  11 lat temu
drobne techniczne
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (robot dodaje: sl:Ortogonalnost)
(drobne techniczne)
{{disambigR|ortogonalnościpojęcia w [[matematyka|matematyce]]matematycznego|[[Ortogonalnośćortogonalność grup ochronnych]] (pojęcie w [[chemia|chemii]])}}
{{spis treści}}
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – proste, ''gonia'' – kąt) – w [[matematyka|matematyce]] uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[Geometriageometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], (czyli tzw. ''[[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]])''.
 
== Motywacja ==
Niech dane będą dwa [[wektor]]y [[baza (przestrzeń liniowa)|trójwymiarowej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]],
: <math>\mathbf a = [a_x, a_y, a_z]</math> oraz <math>\mathbf b = [b_x, b_y, b_z]</math>
o długościach odpowiednio
: <math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math> oraz <math>|\mathbf b| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}.</math>
Z kolei wektor
: <math>\mathbf{b - a} = [b_x - a_x, b_y - a_y, b_z - a_z]</math>
ma długość
: <math>|\mathbf{b - a}| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.</math>
 
Wartości <math>\scriptstyle |\mathbf a|, |\mathbf b|, |\mathbf{b - a}|</math> są długościami boków [[trójkąt]]a <math>\mathrm{oab},</math> gdzie <math>\mathrm o = (0, 0, 0)</math> jest [[początek (matematyka)|początkiem układu]]. Wektory <math>\scriptstyle \mathbf a, \mathbf b</math> są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniany trójkąt jest [[trójkąt prostokątny|prostokątny]], a więc spełnia [[twierdzenie Pitagorasa]]
: <math>|\mathbf{b-a}|^2 = |\mathbf a|^2 + |\mathbf b|^2,</math>
co oznacza, iż
: <math>(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2,</math>
a ze [[wzory skróconego mnożenia|wzorów skróconego mnożenia]] wynika
: <math>-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0,</math>
co daje równość
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0,</math>
która wyrażona za pomocą [[iloczyn skalarny|standardowym iloczynem skalarnym]] przestrzeni euklidesowej,
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 0,</math>
jest podstawą definicji ortogonalności w ogólnych przestrzeniach wyposażonych w iloczyn skalarny.
 
== Definicja ==
ElementyNiech <math>x,\scriptstyle yX</math> przestrzenibędzie unitarnej[[przestrzeń <math>X</math>unitarna|przestrzenią zunitarną]] iloczynemwyposażoną skalarnymw iloczyn skalarny <math>\scriptstyle \langle \cdot, \cdot\rangle.</math> nazywamyElementy <math>\scriptstyle x, y</math> tej nazywa się '''ortogonalnymi''' zapisując często <math>\scriptstyle x \perp y,</math> gdy
: <math>\langle x, y \rangle = 0.</math>.
Zdanie ''elementy <math>x</math> i <math>y</math> są ortogonalne'' zapisuje się krótko <math>x \perp y</math>. Podzbiór <math>A\subseteq X</math> nazywamy ortogonalnym, gdy każde dwa różne elementy tego zbioru są ortogonalne. Zbiory o tej własności często nazywane są układami ortogonalnymi.
 
Układ <math>\scriptstyle A</math> elementów przestrzeni <math>\scriptstyle X</math> nazywa się '''układem ortogonalnym''', jeżeli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne – wynika stąd w szczególności, że każdy taki układ musi być [[podzbiór|podzbiorem]] przestrzeni <math>\scriptstyle X.</math>
; Uwaga: [[Wektor zerowy]] jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, mówi się o ''prostopadłości'' danych wektorów, choć przypadek wektora zerowego pokazuje, że intuicje geometryczne nie zawsze są w tym przypadku pomocne.
 
Zasadniczą różnicą między prostopadłością a ortogonalnością jest fakt, iż prostopadłość wymaga pojęcia odległości (''[[przestrzeń metryczna|metryki]]''), która umożliwia zdefiniowanie [[przystawanie|przystawania]], podczas gdy do zdefiniowania ortogonalności potrzeba jedynie iloczynu skalarnego, za pomocą którego można wprowadzić pojęcie długości (''[[przestrzeń unormowana|normę]]''), a dzięki niemu – odległość. W przypadku euklidesowym pojęcia te właściwie pokrywają się (ma to związek z żądaniem zgodności odpowiednich struktur), co znajduje swe odzwierciedlenie w stosowanej nomenklaturze (o elementach ortogonalnych mówi się często, szczególnie w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniach euklidesowych]], że są ''prostopadłe'') i oznaczeniach (w obu przypadkach korzysta się z symbolu <math>\scriptstyle \perp</math>). Mimo wszystko pojęcia te nie są równoważne nawet w tej sytuacji: [[wektor zerowy]] (opisujący w istocie punkt – [[początek (matematyka)|początek przestrzeni]]) jest ortogonalny do każdego wektora, choć trudno mówić o jego prostopadłości względem innego wektora.
 
== Przykłady ==
===; Przestrzenie euklidesowe ===
{{seealso|przestrzeń euklidesowa}}
W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb{ R}^2</math> (ze [[iloczyn skalarny|standardowym iloczynem skalarnym]] oznaczonym tutaj symbolem <math>\circ</math>) [[wektor]]y
: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = [a_x, a_y] \cdot [b_x, b_y] = a_x b_y + a_y b_y.</math>
wektory
* <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ
*: <math>[-1, 3] \circcdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math>;
* <math>[0, 0]</math> i <math>[3, 1]</math> są ortogonalne (ale ''nie'' są prostopadłe), gdyż
*: <math>[0, 0] \circcdot [3, 1] = 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 0.</math>.
 
=== Przestrzenie funkcyjne ===
Ortogonalność pojawia się również w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]], gdzie określony jest pewien [[przestrzeń unitarna|iloczyn skalarny]]. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy [[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]. Klasycznym przykładem jest tutaj [[Przestrzeń Lp|przestrzeń ''L''<sup>2</sup>]][''a'',''b''], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale [''a'',''b''] o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[funkcja całkowalna|całkowalnych]] w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów ''f'' i ''g'' z tej przestrzeni wyraża się wzorem
 
===; Przestrzenie funkcyjne ===
:<math>\langle f, g\rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)}dt</math>.
{{seealso|przestrzeń funkcyjna}}
Ortogonalność pojawia się również w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]], gdzie określony jest pewien [[przestrzeń unitarna|iloczyn skalarny]]. Z tego powodu mówi się często o ''funkcjach ortogonalnych'', czy ''[[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]''. Klasycznym przykładem jest tutaj [[Przestrzeńprzestrzeń Lp|przestrzeń ''L''<supmath>\scriptstyle \color{blue} L^2</sup>]][''a'','' b''],</math>]] tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale <math>\scriptstyle [''a'','' b'']</math> o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[funkcja całkowalna|całkowalnych]] w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów ''<math>\scriptstyle f''</math> i ''g''<math>\scriptstyle zg</math> tej przestrzeni wyrażadefiniuje się wzorem
: <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.</math>.
 
Jeżeli <math>\scriptstyle [''a'','' b''] = [''-π''\pi,''π'' \pi],</math> to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w [[analiza harmoniczna|analizie harmonicznej]] jest rodzina
:<math>\left\{ \frac{1 \over }{\sqrt{2 \pi}}, \frac{\sin nx \over }{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx \over }{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb{ N} \right\}.</math>.
 
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[wielomiany Czebyszewa]].
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[macierz ortogonalna]],
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]],
Anonimowy użytkownik