Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 509 bajtów ,  11 lat temu
drobne merytoryczne, drobne redakcyjne
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
(antyscriptstyle)
(drobne merytoryczne, drobne redakcyjne)
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[ortogonalność grup ochronnych]] w [[chemia|chemii]]}}
{{spis treści}}
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – proste, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], jak np. [[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]] (w tym [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]]) czy [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenie ortogonalne]]. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na [[przestrzeń unormowana|przestrzenie unormowane]] w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego ([[ortogonalność w sensie Pitagorasa]], [[ortogonalność w sensie Jamesa]], [[ortogonalność w sensie Birkhoffa]], [[T-ortogonalność]])<ref>Roman Ger: ''Orthogonalities in linear spaces and difference operators'', Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, [http://www.springerlink.com/content/4ym3ed4368kcdxp5/ DOI:10.1007/s000100050153]</ref>.
 
== Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej ==
{{seealso|przestrzeń euklidesowa}}
Wektory <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
* :<math>[-1, 3] \cdot [3, 1] = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math>;
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
 
; Przestrzenie funkcyjne
{{seealso|przestrzeń funkcyjna}}
Ortogonalność pojawia się również w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]], gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o ''funkcjach ortogonalnych'', czy ''[[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]''. Klasycznym przykładem jest [[przestrzeń Lp|przestrzeń <math>L^2[a, b],</math>]], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale <math>\scriptstyle [a, b]</math> o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[funkcja całkowalna|całkowalnych]] w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów <math>f</math> i <math>g</math> tej przestrzeni definiuje się wzorem
: <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.</math>
:<math>\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}</math>
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[wielomiany Czebyszewa]].
 
{{przypisy}}
 
== Zobacz też ==
9005

edycji