Arytmetyka modularna: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 30 bajtów ,  10 lat temu
m
drobne redakcyjne
(korekta prostego błędu merytorycznego)
m (drobne redakcyjne)
{{seealso|zegar (czasomierz)|o1=zegar}}
[[Plik:Clock group.svg|thumb|right|300px|Wskazania [[zegar 12-godzinny|zegara 12-godzinnego]] jako przykład zastosowania arytmetyki modularnej.]]
Przykładem może być zegar 24-godzinny, w którym [[doba]] podzielona jest na 24 godziny numerowane od 0 do 23. Każdej z nich można jednoznacznie przyporządkować okres czasu w ciągu doby, który minął od godziny 0:00 do tej właśnie godziny – np. godzinie 7:00 można przyporządkować okres 7 godzin – można sobie wyobrażać, że w pewnym momencie ustawiono minutnik na 7 godzin. W ten sposób jeśli zegar wskazuje godzinę 20:00, to znaczy, że od godziny 0:00 minęło 20 godzin; podobnie jeśli zegar wskazuje godzinę 8:00, to oznacza, że godzina 0:00 była dokładnie 8 godzin temu.
 
Jeżeli weźmie się jednak pod uwagę okresy czasu dłuższe niż jedna doba, to wspomniane przyporządkowanie nie jest jedynym możliwym: jeśli teraz jest godzina 0:00, to godzinę 4:00 zegar będzie wskazywać tak po 4 godzinach, jak i po 28 godzinach – ogólnie będzie on wskazywał tę samą godzinę po upływie dowolnej liczby pełnych dób (wielokrotności 24 godzin), czyli: wskazania zegara 24-godzinnego powtarzają się co 24 godziny.
 
Obserwacje dotyczące wskazań zegara po dwóch okresach czasu umożliwiają określenie wskazania zegara po upływie czasu równego sumie długości tych okresów: jeżeli zegar wskazywał godzinę 0:00 i upłynęło 19 godzin (wskazuje więc on godzinę 19:00), a następnie kolejne 8 godzin (zegar nastawiony na 0:00 wskazywałby po tym czasie godzinę 8:00), to zegar nie będzie wskazywał godziny „27:00”, lecz godzinę 3:00 – tak, jak gdyby od 0:00 minęły tylko 3 godziny.
 
Można więc wprowadzić następujące ''dodawanie'' wskazań zegara: sumą dwóch godzin jest godzina, którą wskazywałby zegar po upływie okresu od 0:00 do pierwszej z godzin powiększonego o okres, który upłynąłby od 0:00 do drugiej z godzin. Oznacza to, że jeżeli okres czasu jest niemniejszy niż 24 godziny, to zegar wskazywać będzie godzinę równą temu okresowi pomniejszonemu o okres 24 godzin. W ten sposób sumą godzin 12:00 i 21:00 jest godzina 9:00 (a nie 33:00). Cofaniu zegara odpowiadałyby „ujemne” okresy czasu, tym zaś „ujemne” wskazania zegara: okresowi −7 godzin (7 godzin wstecz) odpowiada wskazanie zegara sprzed 7 godzin, gdy wskazuje on w tym momencie godzinę 0:00 – na zegarze 24-godzinnym jest to godzina 17:00. Dlatego też różnicą godzin 3:00 i 4:00 jest godzina 23:00 (a nie −1:00).
 
Upływ czasu liczy się więc zgodnie z arytmetyką liczb całkowitych, z kolei wskazania zegara są zgodne z ''arytmetyką modularną'' o module 24: mierzenie czasu na zegarze rozpoczyna się o godzinie 0:00 „zerując się” po osiągnięciu 24:00, z kolei gdy wskazówka zegara cofa się mijając godzinę 0:00, zegar wskazuje godzinę wcześniejszą niż 24:00.