Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

m
robot dodaje: sl:Involucija (matematika); zmiany kosmetyczne
m (robot dodaje: sl:Involucija (matematika); zmiany kosmetyczne)
[[GrafikaPlik:Involution.svg|right|thumb|]]
== Definicja ==
'''Inwolucja''' – w matematyce to funkcja <math> f\colon X \to X</math>, która jest [[Funkcja odwrotna|funkcją odwrotną]] do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego <math>x\;</math> należącego do [[dziedzina funkcji|dziedziny funkcji]] <math>f\;</math> zachodzi warunek&nbsp; <math>f(f(x))=x\;</math> &nbsp; dla każdego&nbsp; <math>x\in X</math>.
 
== Własności ==
* Każda inwolucja jest [[bijekcja|bijekcją]] (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
* Dla dowolnego ''k'' naturalnego mamy:
:<math>f^{2\cdot k} (x)=x\;</math>
:<math>f^{2\cdot k+1} (x)=f(x)\;</math>
 
== Przykłady ==
* Trywialnym przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]].
* Inwolucją jest funkcja&nbsp; s : A × A → A × A,&nbsp; kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
:::s(x, y) := (y, x) &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; dla każdego &nbsp; (x, y) ε A × A.
 
Wiele inwolucji jest indukowanych przez opisaną wyżej inwolucję &nbsp; s, &nbsp;na przykład transpozycja macierzy (samo&nbsp; s &nbsp; jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).
 
* Zmiana znaku <math>f(x)=-x\;</math> jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
* Odwrotność <math>f(x)= {1\over x} </math> jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
* W [[geometria|geometrii]] inwolucjami są [[symetria|symetrie]] (osiowa, środkowa) oraz [[inwersja (geometria)|inwersja]]
* W rachunku zbiorów inwolucją jest [[dopełnienie zbioru]].
* W rachunku zbiorów [[różnica symetryczna]] z ustalonym zbiorem. (bo <math>(A \dot{-} B)\dot{-} B = A </math>).&nbsp; Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
* W informatyce inwolucją jest szyfr [[Rot13]].
* W zbiorze liczb zespolonych (a także [[kwaterniony|kwaternionów]]) inwolucją jest [[Liczba sprzężona|sprzężenie]].
* W [[Algebra Boole'a|algebrze boole'a]] inwolucją jest dopełnienie. Wynika to z prawa podwójnego przeczenia.
* W rachunku macierzy inwolucjami są [[Macierz transponowana|transpozycja]], [[Macierz sprzężona (trywialnie)|sprzężenie]], [[sprzężenie hermitowskie]], [[macierz odwrotna]].
 
== Geometria ==
Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.
 
* [[Permutacja]] jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. Każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.
 
* [[Grupa Coxetera|Grupy Coxetera]] są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). &nbsp;<ref>Bourbaki. ''Groupes et Algèbres de Lie'', Hermann, Paris, Rozdział 4.1.</ref>
[[ru:Инволюция (математика)]]
[[sk:Involúcia (matematika)]]
[[sl:Involucija (matematika)]]
[[sr:Инволуција (математика)]]
[[th:อาวัตนาการ]]
323 108

edycji