Mnożenie przez skalar: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki |
drobne merytoryczne |
||
Linia 1:
'''Mnożenie przez skalar''' − jedno z [[działanie dwuargumentowe|działań dwuargumentowych]] definiujących [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] (lub ogólniej: [[moduł (matematyka)|moduł]] w [[algebra|algebrze ogólnej]]. Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie wektora [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „[[skalar (matematyka)|skalar]]”<ref>[[łacina|łac.]] ''scalar'', od późnołac. ''scala'', „schody, drabina”, od łac. ''scalae'', l.mn. „schody, szczeble, drabina”; spokr. z łac. ''scandere'', „wspinać się” i dalej ze [[język średnioirlandzki|średnioirl.]] ''sceinnid'', „wyskakuje” oraz [[sanskryt|sans.]] ''skandati'', „skacze”</ref> urobiono od czynności: ''skalar'' służy do ''skalowania'', czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. [[jednokładność|jednokładnościowego]] przekształcania wektorów o [[wartość bezwzględna|wartość bezwzględną]] skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w [[ciało skończone|ciałach skończonych]], które nie są [[ciało uporządkowane|uporządkowane liniowo]] (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów). Mnożenia wektora przez skalar nie należy mylić z [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] będącym [[iloczyn wewnętrzny|iloczynem wewnętrznym]] dwóch wektorów.
== Definicja ==
Niech <math>\scriptstyle V</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], której elementy oznaczane będą pismem pogrubionym, nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>\scriptstyle K,</math> którego elementy nazywane ''[[skalar (matematyka)|skalarami]]'' oznaczane będą pismem pochyłym. Wówczas '''mnożenie przez skalar''' definiuje się jako [[funkcja|funkcję]] <math>\scriptstyle K \times V \to V,</math> która przekształca parę <math>\scriptstyle (c, \mathbf v)</math> w wektor <math>\scriptstyle c \mathbf v.</math>
Często dobieranymi [[aksjomat]]ami przestrzeni liniowej dotyczącymi tego działania są:
* lewo- i prawostronna [[rozdzielność]] względem dodawania wektorów,
*: <math>(c + d) \mathbf v = c \mathbf{v +} d \mathbf v,</math>
*: <math>c(\mathbf{v + w}) = c \mathbf{v +} c \mathbf w;</math>
* [[łączność (matematyka)|łączność]],
*: <math>(cd) \mathbf v = c (d \mathbf v);</math>
* zgodność z elementem neutralnym <math>\scriptstyle 1</math> mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),
*: <math>1 \mathbf v = \mathbf v.</math>
== Własności, przykłady, uogólnienia ==
Z powyższych aksjomatów wynikają m.in. następujące własności:
* zgodność elementów neutralnych ciała <math>\scriptstyle 0</math> i przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle \mathbf 0</math> (zob. [[wektor zerowy]]),
*: <math>0 \mathbf v = \mathbf 0</math>
* zgodność elementów przeciwnych przestrzeni liniowej i ciała („zmiana zwrotu”),
*: <math>(-1) \mathbf v = \mathbf{-v}.</math>
W szczególnym przypadku za <math>\scriptstyle V</math> można wziąć samo <math>\scriptstyle K</math> i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli <math>\scriptstyle V</math> jest [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]] <math>\scriptstyle K^n,</math> to mnożenie przez skalar zdefiniowane jest „po składowych”. [[Macierz]]e ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. [[mnożenie macierzy#Mnożenie przez skalar|mnożenie macierzy przez skalar]]. Jeśli <math>\scriptstyle K</math> oznacza ciało [[liczby zespolone|liczb zespolonych]], to mnożenie przez skalar jest złożeniem [[jednokładność|jednokładności]] o współczynniku równemu [[wartość bezwzględna#Liczby zespolone|modułowi]] i [[obrót|obrotu]] wektora o [[kąt]] równy [[argument liczby zespolonej|argumentowi]] tego skalara (zob. [[płaszczyzna zespolona]]).
W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako [[działanie algebraiczne|zewnętrzne]] [[działanie dwuargumentowe]] lub [[działanie grupy na zbiorze|działanie]] ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli <math>\scriptstyle K</math> jest [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]]; wówczas konstrukcję <math>\scriptstyle V</math> analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się [[moduł (matematyka)|modułem]] nad <math>\scriptstyle K.</math> Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: <math>\scriptstyle K</math> może być [[półpierścień|półpierścieniem]] (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli <math>\scriptstyle K</math> jest strukturą [[przemienność|nieprzemienną]], to należy zwrócić uwagę na porządek mnożenia.
{{Przypisy}}
[[Kategoria:Geometria]]
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
[[Kategoria:Teoria modułów]]
[[en:Scalar multiplication]]
| |||