Wikipedia

Pochodna Frécheta: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
kawałek dalej
Linia 41:
; Przypadek jednowymiarowy
{{seealso|pochodna}}
Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]]. <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R,</math> ponieważ ciągłeCiągłe przekształcenia liniowe <math>\mathbb R \to \mathbb R</math> są postaci <math>y = ax,</math>, gdzie <math>a</math> jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka <math>A_x(h)</math> pojawiająca się w definicji tojest funkcjafunkcją postaci
:<math>h \mapsto f'(x)h.</math> W ten sposób granica
Wyrażenie
: <math>\lim_{h \to 0} \frac{\bigl|f(x + h) - f(x) - ah\bigr|}{|h|} = 0</math>
stajejest się równoważna granicy pojawiającej się wrównoważne definicji zwykłej pochodnejróżniczkowalności funkcji <math>f,</math>, tj.
: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a,</math>
gdzie <math>a</math> jest pochodną funkcji <math>f'(x)</math> tejw funkcjipunkcie <math>x</math>.
 
; Przypadek wielowymiarowy
{{seealso|macierz Jacobiego}}
Ponieważ wW przestrzeniach oskończenie skończonym wymiarzewymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. [[przekształcenie liniowe nieciągłe]]), towięc pochodna Frécheta pokrywa się tampokrywa się w tym takżeprzypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.
 
Niech <math>\mathrm f\colon U \to \mathbb R^m,</math> będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze <math>U</math> przestrzeni <math>\mathbb R^n.</math> Jeśli <math>\mathrm f</math> jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie <math>\mathrm a \in U,</math> to jej pochodną jest przekształcenie
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_Frécheta”