Krzywa: Różnice pomiędzy wersjami

* [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] w [[XIX wiek]]u zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny <math>\left(\varphi(t), \psi(t)\right)</math>, gdzie <math>\varphi</math> i <math>\psi</math> są[[funkcja ciągła|funkcjami ciągłymi]], zaś <math>t</math> jest parametrem przebiegającym [[przedział (matematyka)|przedział]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Innymi słowy krzywa to [[obraz (matematyka)|obraz]] przedziału (równoważnie: [[odcinek|odcinka]]) w [[funkcja ciągła|odwzorowaniu ciągłym]]. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W [[1890]] roku [[Giuseppe Peano]]pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej wypełnia [[kwadrat]] wraz z wnętrzem (tzw. [[krzywa Peano]]). Obecnie [[krzywa Jordana|krzywą Jordana]] nazywa się [[homeomorfizm|homeomorficzny]] obraz okręgu.

* Pod koniec [[XIX wiek]]u [[Georg Cantor]] podał następującą definicję: '''krzywa płaska''' to takie [[Continuum (topologia)|continuum]] na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]], które nie zawiera żadnego [[koło|koła]] o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.

* Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka [[Paweł Urysohn|Pawła Urysohna]], pochodzi z końca [[lata 20. XX wieku|lat 20. XX wieku]].

* Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).

===Definicje geometryczne===

* Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcję <math>f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^2</math>, odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla [[funkcja różniczkowalna|funkcji różniczkowalnych]] otrzymuje się '''[[łuk regularny]]''', a dla [[funkcja przedziałami liniowa|przedziałami liniowych]] - '''[[linia łamana|linię łamaną]]'''.