Kąt wpisany: Różnice pomiędzy wersjami

 

''Jeśli wierzchołek kąta leży na zewnątrz okręgu, a oba jego ramiona mają punkty wspólne z tym okręgiem, to miara tego kąta jest równa połowie różnicy miedzy kątem środkowym opartym na łuku dalszym a kątem środkowym opartym na łuku bliższym.''

'''Dowód.''' Niech oba ramiona kąta <math>\gamma</math> przecinają okrąg o środku ''A'' i promieniu ''r''. Niech jedno ramię przecina okrąg w punktach ''C'' i ''D'', a drugie w punktach ''B'' i ''D'' (jak na rysunku). Niech ''F'' będzie wierzchołkiem tego kąta, <math>\alpha_1 = \ang BAD</math> i <math>\beta_1 = \ang CAE</math> są kątami środkowymi opartymi na łukach ''BD'' i ''CE''. Ponadto kąty <math>\alpha = \ang BCD</math> oraz <math>\beta = \ang CBE</math> są kątami wpisanymi opartymi odpowiednio na łukach BD i CE, czyli <math>\alpha = 0,5 \cdot \alpha_1</math> i <math>\beta = 0,5 \cdot \beta_1</math>. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym wynika, że <math>\beta = \alpha + \gamma</math>, czyli

:<math>\gamma = \beta - \alpha = \frac{1}{2} \cdot (\beta_1 - \alpha_1)</math>,

W pozostałych przypadkach (kąt o jednym ramieniu stycznym, a drugim siecznym oraz kąt o obu ramionach stycznych do okręgu) dowód jest taki sam. Wykorzystuje twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta i łatwo go odtworzyć, posługując się poniższymi rysunkami.