Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

popr edyc
(popr edyc)
(popr edyc)
Zdyskretyzowany szum procesu jest wówczas wyliczany poprzez przemnożenie transponowanej dolnej, prawej partycji macierzy '''G''' z górną, prawą partycją macierzy '''G''':
:<math>\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^T)^T (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). </math>
 
===Wyprowadzenie===
Rozpoczynając z modelem ciągłym
:<math>\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)</math>
wiadomo, że [[eksponenta macierzy]] jest następująca:
:<math>\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A</math>
i przez wcześniejsze przemnożenie modelu uzyskuje się:
:<math>e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)</math>
co zapisać można jako
:<math>\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)</math>
a następnie całkując:
:<math>e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau</math>
:<math>\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
co jest rozwiązaniem analitycznym dla modelu ciągłego.
 
Teraz należy zdyskretyzować powyższe wyrażenie. Można przyjąć, że <math>u\,</math> jest [[stała matematyczna|stała]] podczas każdego kroku czasowego.
:<math>\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf x(kT)</math>
:<math>\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[ e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
Wyrażenie w nawiasie można zapisać jako <math>\mathbf x[k]</math> a drugie wyrażenie można uprościć przez podstawienie <math>v = kT + T - \tau</math>. Ponadto można przyjąć, że <math>\mathbf u</math> jest stałe podczas całkowania, co z koleii daje:
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k]=e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-I \right) \mathbf B\mathbf u[k]</math>
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
 
[[Kategoria: Matematyka dyskretna]]
14 009

edycji