Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
popr edyc |
popr edyc |
||
Linia 85:
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k]=e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-I \right) \mathbf B\mathbf u[k]</math>
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
===Aproksymacje===
Dokladna dyskretyzacja czasami może nie być trudna z uwagi na dużą eksponentę macierzy i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T</math>. Przybliżone rozwiązanie wówczas przykuje postać:
:<math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + (\mathbf I T + \frac{1}{2} \mathbf A T^2 ) \mathbf B \mathbf u[k] </math>
co można dalej aproksymować jeśli <math>\frac{1}{2} \mathbf A T^2</math> jest małe; co daje:
:<math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] </math>
Inne możliwe aproksymacje to: <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1}</math> i <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2} \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1}</math>. Każda z nich ma inne własności związane ze stabilnością. Ostatnia znana jest jako [[Metoda Tustina|transformacja Tustina]] (transformacja bilinearna) i zachowuje [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilność]] lub odpowiednio niestabilność układu czasu ciągłego.
==Dyskretyzacja własności ciągłych==
{{Main|Dyskretyzacja (statystyka)}}
W [[statystyka|statystyce]] i w [[uczenie maszynowe|uczeniu maszynowym]] termin ''dyskretyzacja'' odnosi się do procesu konwersji ciągłych własności lub zmiennych na zdyskretyzowane lub nominalne własności. Może to być użyteczne przy tworzeniu masowych funkcji prawdopodobieństwa.
[[Kategoria: Matematyka dyskretna]]
| |||