Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Sympatycznyfacet (dyskusja | edycje)
Sympatycznyfacet (dyskusja | edycje)
Linia 14:
* przekształcenie zerowo-biegunowe - w metodzie tej porównuje się [[płaszczyzna S|dziedzinę "s"]] oraz [[płaszczyzna Z|dziedzinę "z"]]. Odpowiedź układu ciągłego z biegunem w pewnym punkcie <math>s = s_{0}\,</math> w układzie [[próbkowanie|spróbkowanym]] z okresem próbkowania <math>T\,</math> reprezentowana jest przez odpowiedź [[układ dyskretny|układu dyskretnego]] z [[biegun układu|biegunem]] w punkcie <math>z = e^{s_{0}T}\,</math>. Ta własność może być wykorzystana do przekształcenia zer i biegunów, które aproksymują układ dyskretny.
* równoważność ekstrapolacji - metoda ta polega na pobieraniu próbek sygnału wejściowego, następnie ekstrapolacji pomiędzy próbkami do postaci aproksymacji sygnału i przesyłaniu tych aproksymacji przez transmitancję układu.
 
===Całkowanie numeryczne===
Całkowanie numeryczne jest zadaniem dość złożonym. Najbardziej elementarne techniki z tego zakresu to reguły o małej złożoności i ustalonym rozmiarze kroku. W metodzie tej daną transmitancję układu
ciągłego G(s) zastępuje się przez równanie różniczkowe a następnie wyprowadza się równania różnicowe będące aproksymacją równań różniczkowych.
 
Niech dana będzie transmitancja integratora analogowego:
:<math>G(s)= \frac {U(s)}{E(s)}= \frac{1}{s}\,</math>
gdzie <math>E(s)</math> oraz <math>U(s)</math> są odpowiednio transformatami wejścia i wyjścia integratora. Dla integratora tego można określić równoważne równanie różniczkowe
:<math>\frac {du(t)dt}{e(t)}= e(t)\,</math>
które można zapisać w postaci całkowej:
:<math>u(t)=\int\limits_0^t e(\tau) d\tau\,</math>
 
Wiele reguł opiera się na właściwej sobie metodzie aproksymacji składnika powiększania pola (pod krzywą funkcją, która w powyższym wzorze podlega całkowaniu). Należą do nich:
* reguła prostokątna wprzód
* reguła prostokatna wstecz
* reguła trapezu.
 
W regule prostokatnej wprzód obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wprzód od chwili kT do chwili kT+T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
:<math>u_{1} (kT + T) = u_{1} (kT)+ Te(kT)\,</math>
gdzie wyrażenie <math>u_{1}(kT)\,</math> reprezentuje obszar pod całkowaną krzywą e(t) w przedziale od t = 0 do t = kT. Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>G_{F}(z)= \frac {U_{1}(z)}{E(z)}= \frac{T}{z-1} = \frac{1}{\frac{z-1}{T}}\,</math>.
 
W regule prostokatnej wstecz obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wstecz od chwili kT do kT-T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
:<math>u_{2} (kT) = u_{2} (kT-T)+ Te(kT)\,</math>
Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>H_{B}(z)= \frac {U_{2}(z)}{E(z)}= \frac{zT}{z-1} = \frac{1}{\frac{1}{T}\frac{z-1}{z}}\,</math>
 
W regule trapezu obszar aproksymuje się przez pole trapezu umieszczonego pod całkowaną krzywą. Równanie aproksymacji ma wówcas postać :
:<math>u_{3} (kT+T) = u_{3} (kT)+ \frac {T}{2} [e(kT)+e(kT+1)]\,</math>
Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>H_{T}(z)= \frac {U_{3}(z)}{E(z)}= \frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1} = \frac{1}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}\,</math>
Metoda reguły trapezu jest również znana jako [[metoda Tustina]] lub pod nazwą transformacji biliniowej (bilinearnej). Metoda projektowania wykorzystująca tę regułę polega na tym, że daną transmitancję ciągłą, <math>G(s)\,</math>, równoważną transmitancja dyskretnej wyznacza się przez podstawienie:
:<math>G_{T}(z)=G(s)|_{s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}\,</math>
 
Porównując transmitancje operatorowe z trzema aproksymacjami dyskretnymi można zauważyć, że transmitancję dyskretną można uzyskać bezpośrednio z transformaty operatorowej podstawiając za zmienną zespoloną "s" jej aproksymatę.
 
==Dyskretyzacja modelu układu liniowego w przestrzeni stanów==