Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

uzupełnienia
(→‎Całkowanie numeryczne: drobne korekty)
(uzupełnienia)
 
[[Image:Finite element solution.svg|right|thumb|Rozwiązanie zdyskretyzowanego [[równanie różniczkowe cząstkowe|cząstkowego równania różniczkowego]], uzyskane za pomocą [[metoda elementów skończonych|metody elementów skończonych]].]]
Dyskretyzacja związana jest także z [[matematyka dyskretna|matematyką dyskretną]] i jest ważną częścią [[(komputerowych) obliczeń ziarnistych]] (ang. ''granular computing'') stosowanych w [[Mechanika komputerowa|mechanice komputerowej]]. W tym kontekście ''dyskretyzacja'' odnosi się także do modyfikacji zmiennej w kategorii ''ziarnistości'' gdy agreguje się wiele zmiennych dyskretnych albo dokonuje się fuzji wielu kategorii dyskretnych.
 
==Dyskretyzacja równań różniczkowych metodą Eulera==
{{main|Metoda Eulera}}
Można wykonać projekt [[uklad regulacji ciągłej|układu sterowania ciągłego]] i zaimplementować go w [[układ dyskretny|układzie dyskretnym]] stosując metody aproksymacji [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]]. Pewnym szczególnym sposobem realizacji aproksymaty dla komputera cyfrowego w celu rozwiązania równania różniczkowego jest [[metoda Eulera]]. Metoda ta może być wyprowadzona z następującej definicji różniczki:
 
:<math>x=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\delta x}{\delta t}\,</math>
 
gdzie <math>\delta x\,</math> jest zmianą zmiennej <math>x\,</math> w czasie <math>\delta t\,</math>. <math>\delta t\,</math> nie musi być całkiem równe zero by zależność ta była prawdziwa po zastosowaniu podanych niżej aproksymat. W samej metodzie Eulera wyróżnić można dwie metody:
* aproksymację prostokątną w przód (ang. ''forward rectangular rule'') dla której:
:<math>x(k)=\frac{x(k+1)-x(k)}{T}\,</math>
gdzie <math>k\,</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_{k+1}-t_{k}\,</math> jest okresem próbkowania i <math>t_{k}=kT\,</math>, <math>x(k)\,</math> i <math>x(k+1)\,</math> wartościami funkcji <math>x\,</math> w chwilach odpowiednio <math>k\,</math> i <math>k+1\,</math>
 
* aproksymację prostokątną wstecz (ang. ''backward rectangular rule'') dla której:
:<math>x(k)=\frac{x(k)-x(k-1)}{T}\,</math>
gdzie <math>k\,</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_{k}-t_{k-1}\,</math> jest okresem próbkowania i <math>t_{k}=kT\,</math>, <math>x(k)\,</math> i <math>x(k-1)\,</math> wartościami funkcji <math>x\,</math> w chwilach odpowiednio <math>k\,</math> i <math>k-1\,</math>
 
Aproksymacje te mogą być zastosowane w miejscach wszystkich różniczek, które występują
w równaniach różniczkowych regulatora. W ten sposób uzyskuje się zbiór [[równanie algebraiczne|równań algebraicznych]], które mogą być rozwiązane przez komputer cyfrowy. Równania te znane są jako [[równanie różnicowe|równania różnicowe]] i są rozwiązywane cyklicznie (z dyskretnym krokiem czasowym o długości <math>T\,</math>).
==Dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej==
W [[teoria sterowania|teorii sterowania]], metodę projektowania [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] polegająca na zaprojektowaniu kompensatora czasu ciągłego, a następnie zastąpieniu go równoważnikiem dyskretnym tak by można go zaimplementować w urządzeniu cyfowym nazywa się ''emulacją''. Metoda ta jest bardzo szeroko używana przez inżynierów praktyków. Przydatne stają się wówczas dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej.
14 009

edycji